Exercício 1.7. Reparametrize a curva pelo comprimento de arco a partir do ponto onde t=0 na direção crescente de t.
\vec{r}(t)=\left(\cos ^{3}(t), \operatorname{sen}^{3}(t)\right).

Passo 1

O enunciado pede para reparametrizar, por comprimento de arco s medido desde t=0 no sentido de t crescente, a curva
\vec{r}(t)=\bigl(\cos^3(t),\,\sin^3(t)\bigr).
O conteúdo é cálculo de parâmetro de arco: precisamos calcular \|\vec r\,'(t)\|, integrar para achar s(t), inverter essa relação e substituir em \vec r.

Passo 2

Calculemos a derivada
\vec r\,'(t) =\bigl(-3\cos^2(t)\,\sin(t),\;3\sin^2(t)\,\cos(t)\bigr).
O módulo é
\|\vec r\,'(t)\| =\sqrt{9\cos^4(t)\sin^2(t)+9\sin^4(t)\cos^2(t)} =3\,|\cos(t)\,\sin(t)|.
Para t em [0,\pi/2] temos \cos t\ge0 e \sin t\ge0, então
\|\vec r\,'(t)\|=3\cos(t)\,\sin(t).

Passo 3

O comprimento de arco desde t=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}3\cos(u)\sin(u)\,du =3\int_{0}^{t}\cos(u)\sin(u)\,du.
Fazendo v=\sin(u), dv=\cos(u)\,du, obtemos
s(t)=3\int_{0}^{t}\cos(u)\sin(u)\,du =\tfrac{3}{2}\sin^2(t)-\tfrac{3}{2}\sin^2(0) =\tfrac{3}{2}\sin^2(t).

Passo 4

Invertendo a relação \displaystyle s=\tfrac{3}{2}\sin^2(t) para obter t em função de s,
\sin^2(t)=\frac{2s}{3}, \quad \sin(t)=\sqrt{\frac{2s}{3}},
e como t\in[0,\pi/2],
t(s)=\arcsin\!\Bigl(\sqrt{\tfrac{2s}{3}}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, substituímos t(s) em \vec r(t):
\cos(t(s))=\sqrt{1-\sin^2(t(s))} =\sqrt{1-\frac{2s}{3}}, \qquad \sin(t(s))=\sqrt{\frac{2s}{3}}.
Logo
\vec r(s) =\bigl(\cos^3(t(s)),\;\sin^3(t(s))\bigr) =\Bigl(\bigl(1-\tfrac{2s}{3}\bigr)^{3/2},\;\bigl(\tfrac{2s}{3}\bigr)^{3/2}\Bigr),
com 0\le s\le\tfrac{3}{2}.

Resposta

\boxed{ \vec r(s) =\Bigl(\bigl(1-\tfrac{2s}{3}\bigr)^{3/2},\;\bigl(\tfrac{2s}{3}\bigr)^{3/2}\Bigr), \quad 0\le s\le\tfrac{3}{2}. }

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