Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização:
\int_{C}(2 \bar{z}+z) d z onde C=\left\{z(t)=-t+\left(t^{2}+1\right) i\right.; com \left.0 \leq t \leq 2\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
\int_{C} (2\bar{z}+z)\,dz
ao longo da curva C parametrizada por
z(t) = -t + i\bigl(t^{2}+1\bigr),\qquad 0\le t\le 2.
Informações dadas: a parametrização z(t) e o intervalo de parâmetro t\in[0,2]. O que precisamos devolver: o valor numérico (complexo) da integral.

Passo 2

Método (fórmula usada): quando uma curva é dada por uma parametrização z(t), a integral de linha de uma função f(z) ao longo de C é calculada por substituição da parametrização:
\int_{C} f(z)\,dz \;=\; \int_{a}^{b} f\bigl(z(t)\bigr)\,z'(t)\,dt.
Aqui a=0 e b=2. Explicando as peças:
  • z'(t) é a derivada de z(t) em relação a t e dz = z'(t)\,dt.
  • f\bigl(z(t)\bigr) significa avaliar a função integranda em z(t).
    Vamos aplicar isso com f(z)=2\bar{z}+z.

Passo 3

Primeiro calculemos a conjugada \bar{z}(t). Se escrevemos z(t)=x(t)+i y(t), então \bar{z}(t)=x(t)-i y(t).
Da parametrização temos x(t)=-t e y(t)=t^{2}+1. Portanto
\bar{z}(t)= -t - i\bigl(t^{2}+1\bigr).
Verifique mentalmente: trocamos o sinal da parte imaginária.

Passo 4

Calculamos z'(t) para obter dz:
z'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t + i(t^{2}+1)\bigr) = -1 + i\cdot 2t = -1 + 2 i t.
Logo dz = \bigl(-1 + 2 i t\bigr)\,dt.

Passo 5

Agora avaliamos a função integranda em z(t):
2\bar{z}(t)+z(t) = 2\bigl(-t - i(t^{2}+1)\bigr) + \bigl(-t + i(t^{2}+1)\bigr).
Façamos a soma termo a termo:
2(-t) + (-t) = -3t,
2\bigl(-i(t^{2}+1)\bigr) + i(t^{2}+1) = -i(t^{2}+1).
Portanto
2\bar{z}(t)+z(t) = -3t - i\bigl(t^{2}+1\bigr).

Passo 6

Multiplicamos pela derivada z'(t) para obter o integrando em t:
\bigl(2\bar{z}(t)+z(t)\bigr)z'(t) = \bigl(-3t - i(t^{2}+1)\bigr)\bigl(-1 + 2 i t\bigr).
Vamos expandir passo a passo:
(-3t)(-1)=3t,
(-3t)(2 i t) = -6 i t^{2},
\bigl(-i(t^{2}+1)\bigr)(-1)= i(t^{2}+1),
\bigl(-i(t^{2}+1)\bigr)(2 i t) = -2 i^{2} t (t^{2}+1) = 2 t (t^{2}+1).
Somando tudo:
\bigl(2\bar{z}(t)+z(t)\bigr)z'(t) = 3t -6 i t^{2} + i(t^{2}+1) + 2t(t^{2}+1).
Agrupando parte real e imaginária:
\text{parte real} = 3t + 2t(t^{2}+1) = 2t^{3}+5t,
\text{parte imaginária} = -6 t^{2} + (t^{2}+1) = 1 -5 t^{2},á
ou seja
\bigl(2\bar{z}(t)+z(t)\bigr)z'(t) = \bigl(2t^{3}+5t\bigr) + i\bigl(1-5t^{2}\bigr).

Passo 7

Agora integramos de t=0 a t=2:
\int_{0}^{2}\bigl(2t^{3}+5t\bigr)\,dt = \int_{0}^{2}2t^{3}\,dt + \int_{0}^{2}5t\,dt.
Calculemos cada termo:
\int_{0}^{2}2t^{3}\,dt = 2\cdot\frac{t^{4}}{4}\Big|_{0}^{2}=2\cdot\frac{16}{4}=8,
\int_{0}^{2}5t\,dt =5\cdot\frac{t^{2}}{2}\Big|_{0}^{2}=5\cdot\frac{4}{2}=10.
Logo a parte real da integral é 8+10=\;18.
Para a parte imaginária:
\int_{0}^{2}\bigl(1-5t^{2}\bigr)\,dt = \int_{0}^{2}1\,dt -5\int_{0}^{2}t^{2}\,dt = 2 -5\cdot\frac{t^{3}}{3}\Big|_{0}^{2} =2 -5\cdot\frac{8}{3}=2-\frac{40}{3}=\,-\frac{34}{3}.
Portanto a parte imaginária (multiplicada por i) é i\cdot\bigl(-\tfrac{34}{3}\bigr).

Resposta

18 - \frac{34}{3}\,i

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