Calcule as integrais a seguir ao longo das curvas indicadas usando as parametrizações indicada e no caso onde não houver indique uma parametrização: \int_{C}(2 \bar{z}+z) d z onde C=\left\{z(t)=-t+\left(t^{2}+1\right) i\right.; com \left.0 \leq t \leq 2\right\}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha complexa
Informações dadas: a parametrização z(t) e o intervalo de parâmetro t\in[0,2]. O que precisamos devolver: o valor numérico (complexo) da integral.
Passo 2
Método (fórmula usada): quando uma curva é dada por uma parametrização z(t), a integral de linha de uma função f(z) ao longo de C é calculada por substituição da parametrização:
z'(t) é a derivada de z(t) em relação a t e dz = z'(t)\,dt.
f\bigl(z(t)\bigr) significa avaliar a função integranda em z(t).
Vamos aplicar isso com f(z)=2\bar{z}+z.
Passo 3
Primeiro calculemos a conjugada \bar{z}(t). Se escrevemos z(t)=x(t)+i y(t), então \bar{z}(t)=x(t)-i y(t).
Da parametrização temos x(t)=-t e y(t)=t^{2}+1. Portanto
\bar{z}(t)= -t - i\bigl(t^{2}+1\bigr).
Verifique mentalmente: trocamos o sinal da parte imaginária.
Passo 4
Calculamos z'(t) para obter dz:
z'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(-t + i(t^{2}+1)\bigr) = -1 + i\cdot 2t = -1 + 2 i t.