Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
em que
é o círculo
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
onde
é o círculo
. Informações importantes que o enunciado dá e que vamos usar:
- A curva
é o círculo centrado na origem com raio , isto é o conjunto . - A integração é ao longo de
; por convenção em análise complexa toma-se a orientação positiva (contra-horária), salvo indicação em contrário. - A função integranda é
. Precisamos saber onde ela tem singularidades (pontos onde não é analítica) e se esses pontos ficam dentro ou fora do círculo .
Passo 2
Vamos encontrar as singularidades da função
. Essas são as soluções da equação
. Resolvendo:
Portanto os pontos singulares são
e
. Note que
, logo ambos têm módulo maior que
:
Conclusão: os dois polos
estão fora do disco
e, portanto, fora do interior de
.
Passo 3
Uma maneira direta de aplicar a fórmula integral de Cauchy é decompor a função em frações simples. Vamos escrever
como soma de termos
. Fazemos a decomposição:
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes de
e termos constantes:
Da primeira equação
. Substituindo na segunda:
Logo
. Assim
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula integral de Cauchy ou o seu caso especial. A fórmula integral de Cauchy diz, para
analítica num domínio que contém um contorno simples fechado
e seu interior, e para
dentro do interior de
,
No caso particular em que
(função constante igual a
), obtemos a fórmula clássica
se
estiver dentro do interior de
, e
se
estiver fora do interior de
. Esta última afirmação é consequência direta da fórmula (ou da versão mais geral do teorema de Cauchy).
Passo 5
Usamos a decomposição do Passo 3 e o resultado do Passo 4. Temos
Mas como vimos no Passo 2, os pontos
e
estão ambos fora do interior do círculo
. Pelo item do Passo 4 isso implica que cada integral do tipo
vale
. Portanto cada um dos dois termos acima é zero, e assim:
Passo 6
Resumo rápido e incentivo: encontramos os polos, verificamos que estão fora do círculo
, usamos a decomposição em frações simples para reduzir ao caso
e aplicamos a fórmula integral de Cauchy (ou seu corolário) para concluir que a integral é zero. Mandou bem por chegar até aqui — a ideia chave para esse tipo de integral é sempre localizar os polos e usar Cauchy.