Usando a fórmula integral de Cauchy calcule as seguintes integrais:
\int_{C} \frac{1}{z^{2}-3} em que C é o círculo |z|=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{C} \frac{1}{z^{2}-3}\,dz
onde C é o círculo |z|=1. Informações importantes que o enunciado dá e que vamos usar:
  • A curva C é o círculo centrado na origem com raio 1, isto é o conjunto \{z\in\mathbb{C}:|z|=1\}.
  • A integração é ao longo de C; por convenção em análise complexa toma-se a orientação positiva (contra-horária), salvo indicação em contrário.
  • A função integranda é z\mapsto \dfrac{1}{z^{2}-3}. Precisamos saber onde ela tem singularidades (pontos onde não é analítica) e se esses pontos ficam dentro ou fora do círculo |z|=1.

Passo 2

Vamos encontrar as singularidades da função \dfrac{1}{z^{2}-3}. Essas são as soluções da equação z^{2}-3=0. Resolvendo:
z^{2}-3=0 \iff z^{2}=3 \iff z=\pm\sqrt{3}.
Portanto os pontos singulares são z=\sqrt{3} e z=-\sqrt{3}. Note que \sqrt{3}\approx1,732, logo ambos têm módulo maior que 1:
|\sqrt{3}|=\sqrt{3}>1,\qquad |-\sqrt{3}|=\sqrt{3}>1.
Conclusão: os dois polos \pm\sqrt{3} estão fora do disco \{z:|z|<1\} e, portanto, fora do interior de C.

Passo 3

Uma maneira direta de aplicar a fórmula integral de Cauchy é decompor a função em frações simples. Vamos escrever \dfrac{1}{z^{2}-3} como soma de termos \dfrac{A}{z-\sqrt{3}}+\dfrac{B}{z+\sqrt{3}}. Fazemos a decomposição:
\frac{1}{z^{2}-3}=\frac{1}{(z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3})}=\frac{A}{z-\sqrt{3}}+\frac{B}{z+\sqrt{3}}.
Multiplicando por (z-\sqrt{3})(z+\sqrt{3}) obtemos
1 = A(z+\sqrt{3}) + B(z-\sqrt{3}) = (A+B)z + (A-B)\sqrt{3}.
Comparando coeficientes de z e termos constantes:
A+B=0,\qquad (A-B)\sqrt{3}=1.
Da primeira equação B=-A. Substituindo na segunda:
(A-(-A))\sqrt{3}=1 \iff 2A\sqrt{3}=1 \iff A=\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Logo B=-\dfrac{1}{2\sqrt{3}}. Assim
\frac{1}{z^{2}-3}=\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{z-\sqrt{3}}-\frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{z+\sqrt{3}}.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula integral de Cauchy ou o seu caso especial. A fórmula integral de Cauchy diz, para f analítica num domínio que contém um contorno simples fechado C e seu interior, e para a dentro do interior de C,
\frac{1}{2\pi i}\int_{C}\frac{f(z)}{z-a}\,dz = f(a).
No caso particular em que f(z)\equiv 1 (função constante igual a 1), obtemos a fórmula clássica
\int_{C}\frac{1}{z-a}\,dz = 2\pi i
se a estiver dentro do interior de C, e
\int_{C}\frac{1}{z-a}\,dz = 0
se a estiver fora do interior de C. Esta última afirmação é consequência direta da fórmula (ou da versão mais geral do teorema de Cauchy).

Passo 5

Usamos a decomposição do Passo 3 e o resultado do Passo 4. Temos
\int_{C}\frac{1}{z^{2}-3}\,dz = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int_{C}\frac{1}{z-\sqrt{3}}\,dz - \frac{1}{2\sqrt{3}}\int_{C}\frac{1}{z+\sqrt{3}}\,dz.
Mas como vimos no Passo 2, os pontos a=\sqrt{3} e a=-\sqrt{3} estão ambos fora do interior do círculo |z|=1. Pelo item do Passo 4 isso implica que cada integral do tipo \int_{C}\dfrac{1}{z-a}\,dz vale 0. Portanto cada um dos dois termos acima é zero, e assim:
\int_{C}\frac{1}{z^{2}-3}\,dz = \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot 0 - \frac{1}{2\sqrt{3}}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Resumo rápido e incentivo: encontramos os polos, verificamos que estão fora do círculo |z|=1, usamos a decomposição em frações simples para reduzir ao caso \int 1/(z-a)\,dz e aplicamos a fórmula integral de Cauchy (ou seu corolário) para concluir que a integral é zero. Mandou bem por chegar até aqui — a ideia chave para esse tipo de integral é sempre localizar os polos e usar Cauchy.

Resposta

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