Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
© integral2^14 1raizx d x

Passo 1

Blz, então o exercício pede pra gente aproximar
integral2^14 1raizx,dx
usando a Regra dos Trapézios composta e a Regra de Simpson 1/3 composta, com e subintervalos. A gente também vai estimar um limitante superior do erro em cada caso e comparar com o valor exato, quando der.
Conteúdo envolvido:
  • Fórmula da Regra dos Trapézios composta e seu erro (vem da segunda derivada).
  • Fórmula da Regra de Simpson 1/3 composta e seu erro (vem da quarta derivada).
  • Cálculo de derivadas de para achar os máximos de e em .
  • O valor exato da integral pra comparação: .

Passo 2

Primeiro o valor exato:
integral2^14 1raizx,dx =2raizx|2^14 =2l(raiz14-raiz2r) approx2(3,741657-1,414214) approx4,654886

Passo 3

Derivadas necessárias de f'(x)=-tfrac12,x^-3/2, f''(x)=tfrac34,x^-5/2, f''''(x)=tfrac10516,x^-9/2 :
max|f''|=34cdot2^-5/2 =34cdot2^2.5 approx0,1325, max|f''''|=10516,2^-9/2 approx0,2897
Em , o máximo de e ocorre em , pois as potências são negativas.

Passo 4

Regra dos Trapézios composta, fórmula:
Tn=h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r], h=b-an
Para h=14-24=3, xi=2,5,8,11,14, :
f(2)=0,7071,;f(5)=0,4472,;f(8)=0,3536,; f(11)=0,3015,;f(14)=0,2673
T4=32l(0,7071+2(0,4472+0,3536+0,3015)+0,2673r) approx4,7685

Passo 5

Erro da Regra dos Trapézios:
|ET|<=(b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)|
Com |ET4|<=12^312cdot4^2,0,1325 =1728192,0,1325 =9cdot0,1325 approx1,1925 , , :

Passo 6

Para h=126=2, xi=2,4,6,8,10,12,14, na Regra dos Trapézios:
f em cada xi: 0,7071,,0,5,,0,4082,,0,3536,,0,3162,,0,2887,,0,2673
T6=22l[f(x0)+2sumi=1^5f(xi)+f(x6)r] =1cdotl(0,7071+2(0,5+0,4082+0,3536+0,3162+0,2887)+0,2673r) approx4,7078

Passo 7

Erro para |ET6|<=12^312cdot6^2,0,1325 =1728432,0,1325 =4cdot0,1325 approx0,53 :

Passo 8

Regra de Simpson 1/3 composta, fórmula:
Sn=h3l[f(x0)+4sumi,ímparf(xi) +2sumi,par,,ineq0,nf(xi)+f(xn)r] í
Para S4=33l(f0+4f1+2f2+4f3+f4r) =1cdot(0,7071+4cdot0,4472+2cdot0,3536+4cdot0,3015+0,2673) approx4,6764 : , mesmos e do Trapézio .

Passo 9

Erro de Simpson:
|ES|<=(b-a)^5180,n^4,max[a,b]|f''''(x)|
Para |ES4|<=248832180cdot256,0,2897 =;5,4cdot0,2897 approx1,564 , , , :

Passo 10

Para S6=23l(f0+4f1+2f2+4f3+2f4+4f5+f6r) =23cdot6,9922 approx4,6615 em Simpson: |ES6|<=12^5180cdot6^4,0,2897 =248832180cdot1296,0,2897 approx1,0671cdot0,2897 approx0,309 , mesmos e do Trapézio .
Erro:

Resposta

Aproximações e limites de erro versus exato ( ):
  • Trapézios : , .
  • Trapézios : , .
  • Simpson : , .
  • Simpson : , .
    Comparando, até Simpson já chega mais pertinho do valor exato que Trapézios.

Exercícios relacionados