Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e
de Simpson, usando quatro e seis divisões de
. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
e a ideia é aproximar usando:
- Regra dos Trapézios
- Regra 1/3 de Simpson
com 4 e 6 subintervalos em
.
Também vamos estimar um limitante superior do erro em cada caso e comparar com o valor exato.
Pra isso, precisamos:
Também vamos estimar um limitante superior do erro em cada caso e comparar com o valor exato.
Pra isso, precisamos:
- Saber as fórmulas do Trapézio e de Simpson 1/3.
- Calcular
e os pontos . - Avaliar
. - Aplicar a fórmula de erro para cada regra, usando as derivadas de
.
Passo 2
Trapézio com
.
- Primeiro,
. - Pontos:
, , , , . - Valores:
- Fórmula do Trapézio:
- Aplicando:$$T_4=0.375\bigl[1+2(1.322875+1.581139+1.802775)+2\bigr]
=4.65479\ (\text{aprox.}).$$
- Erro exato: o valor exato da integral é
Então.
- Limitante de erro do Trapézio:
e como , em .
Logo
Passo 3
Simpson 1/3 com
.
- Mantém
e mesmos . - Fórmula de Simpson 1/3:
- Aplicando:
$$S_4=0.25\bigl[1+4(1.322875+1.802775)+2(1.581139)+2\bigr]=4.66622\ (\text{aprox.}).$$
- Erro exato:
. - Limitante de erro de Simpson:
Como, o máximo em é .
Então
Passo 4
Trapézio com
.
-
. - Pontos
e
-
$$T_6=\frac{0.5}{2}\bigl[1+2(1.224745+1.414214+1.581139+1.732051+1.870829)+2\bigr]=4.66149\ (\text{aprox.}).$$
- Erro exato:
. - Limitante:
Passo 5
Simpson 1/3 com
.
- Mesma lista
e . - $$S_6=\frac{0.5}{3}\Bigl[1+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+2\Bigr]
=4.66656\ (\text{aprox.}).$$
- Erro exato:
. - Limitante:
Resposta
- Valor exato:
. - Trapézio
: , erro real , bound . - Simpson
: , erro real , bound . - Trapézio
: , erro real , bound . - Simpson
: , erro real , bound .