Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e 1 / 3 de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando possível.
(b) integral1^4 raizx d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
integral1^4raizx,dx
e a ideia é aproximar usando:
- Regra dos Trapézios
- Regra 1/3 de Simpson
com 4 e 6 subintervalos em [1,4].
Também vamos estimar um limitante superior do erro em cada caso e comparar com o valor exato.
Pra isso, precisamos:
  1. Saber as fórmulas do Trapézio e de Simpson 1/3.
  2. Calcular h=(b-a)/n e os pontos xi.
  3. Avaliar f(xi)=raizxi.
  4. Aplicar a fórmula de erro para cada regra, usando as derivadas de raizx.

Passo 2

Trapézio com n=4.
  • Primeiro, h=4-14=0.75.
  • Pontos: x0=1, x1=1.75, x2=2.5, x3=3.25, x4=4.
  • Valores: f(1)=1,;f(1.75)=1.322875,;f(2.5)=1.581139, f(3.25)=1.802775,;f(4)=2
    - Fórmula do Trapézio:
    Tn=h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r]
  • Aplicando:$$T_4=0.375\bigl[1+2(1.322875+1.581139+1.802775)+2\bigr]
      =4.65479\ (\text{aprox.}).$$  
    
  • Erro exato: o valor exato da integral é T4=0.375l[1+2(1.322875+1.581139+1.802775)+2r] =4.65479 (aprox)
    Então integral1^4raizx,dx=23(4^3/2-1)=143approx4.66667.
    - Limitante de erro do Trapézio:
    |ET|=|4.66667-4.65479|approx0.01188e como |ET|<=(b-a)^312n^2max[1,4]|f''(x)|,, f''(x)=-tfrac14x^-3/2 em max|f''|=tfrac14.
    Logo x=1

Passo 3

Simpson 1/3 com n=4.
  • Mantém h=0.75 e mesmos xi,f(xi).
  • Fórmula de Simpson 1/3: Sn=h3l[f(x0)+4sumi,ímparf(xi)+2sumi,parf(xi)+f(xn)r]í
    - Aplicando:
    $$S_4=0.25\bigl[1+4(1.322875+1.802775)+2(1.581139)+2\bigr]
      =4.66622\ (\text{aprox.}).$$  
    
  • Erro exato: S4=0.25l[1+4(1.322875+1.802775)+2(1.581139)+2r] =4.66622 (aprox).
  • Limitante de erro de Simpson: |ES|=|4.66667-4.66622|approx0.00045
    Como |ES|<=(b-a)^5180,n^4max|f^(4)(x)|, o máximo em f^(4)(x)=-tfrac1516x^-7/2 é x=1.
    Então
    15/16

Passo 4

Trapézio com n=6.
  • h=(4-1)/6=0.5.
  • Pontos xi=1,1.5,2,dots,3.5,4 e f(xi)=1,;1.224745,;1.414214,;1.581139,;1.732051,;1.870829,;2
    -
    $$T_6=\frac{0.5}{2}\bigl[1+2(1.224745+1.414214+1.581139+1.732051+1.870829)+2\bigr]
      =4.66149\ (\text{aprox.}).$$  
    
  • Erro exato: T6=0.52l[1+2(1.224745+1.414214+1.581139+1.732051+1.870829)+2r] =4.66149 (aprox).
  • Limitante: |ET|=|4.66667-4.66149|approx0.00518

Passo 5

Simpson 1/3 com n=6.
  • Mesma lista xi,f(xi) e h=0.5.
  • $$S_6=\frac{0.5}{3}\Bigl[1+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)+2\Bigr]
      =4.66656\ (\text{aprox.}).$$  
    
  • Erro exato: S6=0.53l[1+4(f1+f3+f5)+2(f2+f4)+2r] =4.66656 (aprox).
  • Limitante: |ES|=|4.66667-4.66656|approx0.00010

Resposta

  • Valor exato: 143approx4.66667.
  • Trapézio n=4: T4approx4.65479, erro real approx0.01188, bound approx0.03516.
  • Simpson n=4: S4approx4.66622, erro real approx0.00045, bound approx0.00494.
  • Trapézio n=6: T6approx4.66149, erro real approx0.00518, bound approx0.01563.
  • Simpson n=6: S6approx4.66656, erro real approx0.00010, bound approx0.00098.

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