Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios, 1 / 3 de Simpson e 3 / 8 de Simpson, usando quatro e seis divisões de $ \mathrm{a}, \mathrm{b}. Compare os resultados.
\int_{-1}^{1}\left(3 x^{3}-3 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{-1}^{1}\left(3x^{3}-3x+1\right)\,dx
pelas regras numéricas: Regra dos Trapézios, Regra de Simpson 1/3 e Regra de Simpson 3/8, usando 4 subdivisões e 6 subdivisões do intervalo \left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]=[-1,1], e comparar os resultados.
Informações dadas que vamos usar:
a=-1,\qquad b=1,\qquad f(x)=3x^{3}-3x+1.
Os pedidos específicos que preciso entregar:
  • aproximações pela Regra dos Trapézios para n=4 e n=6;
  • aproximações pela Regra de Simpson 1/3 para n=4 e n=6;
  • aproximações pela Regra de Simpson 3/8 para n=4 e n=6 (note que a regra 3/8 exige n múltiplo de 3, então preciso verificar aplicabilidade).

Passo 2

Vou calcular primeiro o valor exato da integral para termos uma referência. Isso ajuda a comparar depois.
A primitiva de f é
F(x)=\int (3x^{3}-3x+1)\,dx=\frac{3}{4}x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+x.
Portanto
\int_{-1}^{1}(3x^{3}-3x+1)\,dx=F(1)-F(-1).
Calculemos:
F(1)=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1= \frac{3}{4}-\frac{3}{2}+1=0{,}25,
F(-1)=\frac{3}{4}-\frac{3}{2}-1=-1{,}75.
Logo
\int_{-1}^{1}(3x^{3}-3x+1)\,dx = 0{,}25 - (-1{,}75)=2.
Resumo: o valor exato da integral é \;2\;. Vamos agora às regras numéricas para n=4 e n=6.

Passo 3

Explicação e aplicação da Regra dos Trapézios (composta).
Fórmula da Regra dos Trapézios composta com n subintervalos, passo h=(b-a)/n:
T_n = h\left[\frac{f(x_0)+f(x_n)}{2}+\sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\right],
onde x_i = a + i h.
Aplicação para n=4:
h=\frac{1-(-1)}{4}=\frac{2}{4}=0{,}5.
Nós precisamos dos nós x_0,\dots,x_4:
x_0=-1,\;x_1=-0{,}5,\;x_2=0,\;x_3=0{,}5,\;x_4=1.
Calculemos f em cada nó (faço passo a passo):
f(-1)=3(-1)^3-3(-1)+1= -3+3+1=1,
f(-0{,}5)=3(-0{,}5)^3-3(-0{,}5)+1 = 3(-0{,}125)+1{,}5+1 = -0{,}375+2{,}5=2{,}125,
f(0)=1,
f(0{,}5)=3(0{,}5)^3-3(0{,}5)+1 = 0{,}375-1{,}5+1=-0{,}125,
f(1)=1.
Agora aplicar a fórmula:
T_4 = 0{,}5\left[\frac{1+1}{2} + (2{,}125+1-0{,}125)\right] =0{,}5\left[1 + 3\right] =0{,}5\cdot 4 =2.
Interpretação rápida e útil: escrevendo f(x)=1+g(x) com g(x)=3x^{3}-3x (que é função ímpar), os pares simétricos x e -x fazem com que as contribuições da parte ímpar cancelem nas somas dos pontos igualmente espaçados, o que explica (para este caso) que a soma discreta no trapézio resulte exatamente em 2.

Passo 4

Regra dos Trapézios composta para n=6.
Calcule h:
h=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}.
Nós: x_0=-1,\;x_1=-\tfrac{2}{3},\;x_2=-\tfrac{1}{3},\;x_3=0,\;x_4=\tfrac{1}{3},\;x_5=\tfrac{2}{3},\;x_6=1.
Calcule f nos nós (uso frações exatas):
f(-1)=1,
f\!\left(-\tfrac{2}{3}\right)=3\left(-\tfrac{8}{27}\right)-3\left(-\tfrac{2}{3}\right)+1 = -\tfrac{8}{9}+2+1=\tfrac{19}{9},
f\!\left(-\tfrac{1}{3}\right)=3\left(-\tfrac{1}{27}\right)-3\left(-\tfrac{1}{3}\right)+1 = -\tfrac{1}{9}+1+1=\tfrac{17}{9},
f(0)=1,
f\!\left(\tfrac{1}{3}\right)=3\left(\tfrac{1}{27}\right)-3\left(\tfrac{1}{3}\right)+1=\tfrac{1}{9}-1+1=\tfrac{1}{9},
f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=3\left(\tfrac{8}{27}\right)-3\left(\tfrac{2}{3}\right)+1=\tfrac{8}{9}-2+1=-\tfrac{1}{9},
f(1)=1.
Agora a soma interior:
\sum_{i=1}^{5} f(x_i)=\frac{19}{9}+\frac{17}{9}+1+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=5.
Aplicando a fórmula:
T_6 = \frac{1}{3}\left[\frac{1+1}{2}+5\right]=\frac{1}{3}(1+5)=\frac{6}{3}=2.
Conclusão: \;T_6=2.

Passo 5

Explicação da Regra de Simpson 1/3 (composta) e aplicação.
Fórmula (para n par):
S_n=\frac{h}{3}\left[f(x_0)+f(x_n)+4\sum_{\substack{i=1\\\ i\\ \text{ímpar}}}^{n-1} f(x_i)+2\sum_{\substack{i=2\\\ i\\ \text{par}}}^{n-2} f(x_i)\right],í
com h=(b-a)/n. A regra 1/3 é exata para polinômios até grau 3.
Aplicação para n=4 (já temos os f(x_i) do Passo 3):
h=0{,}5,\qquad f(-1)=1,\; f(-0{,}5)=2{,}125,\; f(0)=1,\; f(0{,}5)=-0{,}125,\; f(1)=1.
Compute:
S_4=\frac{0{,}5}{3}\left[1+1+4\big(2{,}125-0{,}125\big)+2\cdot 1\right].
Detalhando:
1+1=2,\qquad 4(2{,}125-0{,}125)=4\cdot 2 =8,\qquad 2\cdot 1=2.
Logo
S_4=\frac{0{,}5}{3}\cdot(2+8+2)=\frac{0{,}5}{3}\cdot 12=\frac{0{,}5\cdot 12}{3}= \frac{6}{3}=2.

Passo 6

Regra de Simpson 1/3 para n=6.
Usamos os f(x_i) do Passo 4. Aqui h=\tfrac{1}{3} e a fórmula:
S_6=\frac{h}{3}\Big[f_0+f_6+4(f_1+f_3+f_5)+2(f_2+f_4)\Big],
onde escrevo f_i=f(x_i). Substituindo os valores já calculados:
f_0+f_6=1+1=2,
f_1+f_3+f_5=\frac{19}{9}+1-\frac{1}{9}=\frac{27}{9}=3,
f_2+f_4=\frac{17}{9}+\frac{1}{9}=\frac{18}{9}=2.
Então
S_6=\frac{1/3}{3}\big[2+4\cdot 3 + 2\cdot 2\big]=\frac{1}{9}\big[2+12+4\big]=\frac{1}{9}\cdot 18=2.
Como esperado, Simpson 1/3 dá o valor exato 2 (a regra é exata para polinômios até grau 3).

Passo 7

Explicação da Regra de Simpson 3/8 (composta), condição de aplicabilidade e aplicação para n=4 e n=6.
A fórmula composta da regra 3/8 com n subintervalos (onde é necessário que n seja múltiplo de 3) é:
S^{(3/8)}_n = \frac{3h}{8}\left[f(x_0)+f(x_n)+3\sum_{\substack{i=1\\\ i\not\equiv 0\pmod{3}}}^{n-1} f(x_i) + 2\sum_{\substack{i=3\\\ i\equiv 0\pmod{3}}}^{n-3} f(x_i)\right].
Observação importante: a regra 3/8 composta exige que n seja múltiplo de 3 porque ela é construída por blocos de 3 subintervalos.
  • Para n=4: 4 não é múltiplo de 3, logo não podemos aplicar diretamente a forma composta da regra 3/8 com passo uniforme em todo o intervalo. Portanto a regra 3/8 não é aplicável diretamente para n=4. (Dar um jeito de “misturar” regras é possível, mas aqui o pedido é aplicar cada regra com o número de subdivisões indicado — então declaro “não aplicável” para n=4.)
  • Para n=6: 6 é múltiplo de 3, então podemos aplicar. Use h=\tfrac{1}{3}. Substituindo na fórmula (vou usar forma com fator 3h/8):
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot(1/3)}{8}=\frac{1}{8}.
Precisamos de
f_0+f_6=1+1=2,
\text{índices não múltiplos de 3: }i=1,2,4,5\quad\Rightarrow\quad f_1+f_2+f_4+f_5=\frac{19}{9}+\frac{17}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=\frac{36}{9}=4,íãú
\text{índices múltiplos de 3 (interiores): }i=3\quad\Rightarrow\quad f_3=1.íú
Agora:
S^{(3/8)}_6 = \frac{1}{8}\big[2 + 3\cdot 4 + 2\cdot 1\big] = \frac{1}{8}(2+12+2)=\frac{16}{8}=2.
Portanto a regra 3/8 com n=6 também dá 2.

Passo 8

Comparação e interpretação final.
Resumo das aproximações:
  • Para n=4: Trapézios T_4=2; Simpson 1/3 S_4=2; Simpson 3/8 não aplicável (pois 4 não é múltiplo de 3).
  • Para n=6: Trapézios T_6=2; Simpson 1/3 S_6=2; Simpson 3/8 S^{(3/8)}_6=2.
Comentário didático curto: o polinômio é do grau 3, e as fórmulas de Newton–Cotes (Simpson 1/3 e 3/8) são exatas para polinômios até grau 3. Além disso, como f(x)=1+g(x) com g ímpar, e as malhas são simétricas em torno de 0, as contribuições discretas da parte ímpar cancelam nas somas dos pontos igualmente espaçados, o que fez com que a Regra dos Trapézios composta também produzisse o valor exato 2 para as divisões consideradas.

Resposta

Para n=4: Regra dos Trapézios T_4=2.
Para n=4: Simpson 1/3 S_4=2.
Para n=4: Simpson 3/8 — não aplicável ( n=4 não é múltiplo de 3 ).
Para n=6: Regra dos Trapézios T_6=2.
Para n=6: Simpson 1/3 S_6=2.
Para n=6: Simpson 3/8 S^{(3/8)}_6=2.

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