Calcule as integrais a seguir pela Regra dos Trapézios, 1 / 3 de Simpson e 3 / 8 de Simpson, usando quatro e seis divisões de $\mathrm{a}, \mathrm{b}. Compare os resultados.
\int_{-1}^{1}\left(3 x^{3}-3 x+1\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
\int_{-1}^{1}\left(3x^{3}-3x+1\right)\,dx
pelas regras numéricas: Regra dos Trapézios, Regra de Simpson 1/3 e Regra de Simpson 3/8, usando 4 subdivisões e 6 subdivisões do intervalo \left[\mathrm{a},\mathrm{b}\right]=[-1,1], e comparar os resultados.
Informações dadas que vamos usar:
a=-1,\qquad b=1,\qquad f(x)=3x^{3}-3x+1.
Os pedidos específicos que preciso entregar:
aproximações pela Regra dos Trapézios para n=4 e n=6;
aproximações pela Regra de Simpson 1/3 para n=4 e n=6;
aproximações pela Regra de Simpson 3/8 para n=4 e n=6 (note que a regra 3/8 exige n múltiplo de 3, então preciso verificar aplicabilidade).
Passo 2
Vou calcular primeiro o valor exato da integral para termos uma referência. Isso ajuda a comparar depois.
Interpretação rápida e útil: escrevendo f(x)=1+g(x) com g(x)=3x^{3}-3x (que é função ímpar), os pares simétricos x e -x fazem com que as contribuições da parte ímpar cancelem nas somas dos pontos igualmente espaçados, o que explica (para este caso) que a soma discreta no trapézio resulte exatamente em 2.
Observação importante: a regra 3/8 composta exige que n seja múltiplo de 3 porque ela é construída por blocos de 3 subintervalos.
Para n=4: 4 não é múltiplo de 3, logo não podemos aplicar diretamente a forma composta da regra 3/8 com passo uniforme em todo o intervalo. Portanto a regra 3/8 não é aplicável diretamente para n=4. (Dar um jeito de “misturar” regras é possível, mas aqui o pedido é aplicar cada regra com o número de subdivisões indicado — então declaro “não aplicável” para n=4.)
Para n=6: 6 é múltiplo de 3, então podemos aplicar. Use h=\tfrac{1}{3}. Substituindo na fórmula (vou usar forma com fator 3h/8):
\frac{3h}{8}=\frac{3\cdot(1/3)}{8}=\frac{1}{8}.
Precisamos de
f_0+f_6=1+1=2,
\text{índices não múltiplos de 3: }i=1,2,4,5\quad\Rightarrow\quad f_1+f_2+f_4+f_5=\frac{19}{9}+\frac{17}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{9}=\frac{36}{9}=4,íãú
\text{índices múltiplos de 3 (interiores): }i=3\quad\Rightarrow\quad f_3=1.íú
Para n=4: Trapézios T_4=2; Simpson 1/3S_4=2; Simpson 3/8 não aplicável (pois 4 não é múltiplo de 3).
Para n=6: Trapézios T_6=2; Simpson 1/3S_6=2; Simpson 3/8S^{(3/8)}_6=2.
Comentário didático curto: o polinômio é do grau 3, e as fórmulas de Newton–Cotes (Simpson 1/3 e 3/8) são exatas para polinômios até grau 3. Além disso, como f(x)=1+g(x) com g ímpar, e as malhas são simétricas em torno de 0, as contribuições discretas da parte ímpar cancelam nas somas dos pontos igualmente espaçados, o que fez com que a Regra dos Trapézios composta também produzisse o valor exato 2 para as divisões consideradas.
Resposta
Para n=4: Regra dos Trapézios T_4=2.
Para n=4: Simpson 1/3S_4=2.
Para n=4: Simpson 3/8 — não aplicável ( n=4 não é múltiplo de 3 ).
Para n=6: Regra dos Trapézios T_6=2.
Para n=6: Simpson 1/3S_6=2.
Para n=6: Simpson 3/8S^{(3/8)}_6=2.