Seja a função \frac{2 \operatorname{sen}^{2} x}{x+1}. Determine:
\mathrm{f}(11 \pi / 18) utilizando apenas os valores disponíveis na tabela abaixo:
\mathbf{i} \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \operatorname{sen}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\right)
0 0 0,00
1 \pi / 6 0,50
2 \pi / 4 0,71
3 \pi / 3 0,87
4 \pi / 2 1,00

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a função
f(x)=\frac{2\operatorname{sen}^{2}x}{x+1}
no ponto x=11\pi/18, usando apenas os valores de \operatorname{sen}(x_i) que estão na tabela fornecida. As informações relevantes da tabela são (estou pegando estes valores da tabela): \operatorname{sen}(\pi/3)=0,87 e \operatorname{sen}(\pi/2)=1,00.
Não faço nenhuma outra suposição além desses valores dados.

Passo 2

Uso uma identidade trigonométrica simples para reduzir o ângulo para um que caiba entre os pontos da tabela. Observação:
\operatorname{sen}\bigl(11\pi/18\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(\pi-11\pi/18\bigr)=\operatorname{sen}\bigl(7\pi/18\bigr),
pois \operatorname{sen}(\pi-x)=\operatorname{sen} x. Portanto
f\bigl(11\pi/18\bigr)=\frac{2\operatorname{sen}^{2}\bigl(7\pi/18\bigr)}{11\pi/18+1}.

Passo 3

Agora identifico em que intervalo o ângulo \,7\pi/18, está. Em graus isso é 7\cdot180/18=70^\circ, e em radianos note que
\pi/3=\frac{6\pi}{18}<\frac{7\pi}{18}<\frac{9\pi}{18}=\frac{\pi}{2}.
Logo \,7\pi/18 está entre \pi/3 e \pi/2. Da tabela (peguei os dados da tabela) tenho
\operatorname{sen}\bigl(\pi/3\bigr)=0,87,\qquad \operatorname{sen}\bigl(\pi/2\bigr)=1,00.

Passo 4

Vou estimar \operatorname{sen}(7\pi/18) por interpolação linear entre os pontos (\pi/3,\operatorname{sen}(\pi/3)) e (\pi/2,\operatorname{sen}(\pi/2)). A fórmula da interpolação linear é: se x está entre x_a e x_b, então
\hat{f}(x)=f(x_a)+\frac{x-x_a}{x_b-x_a}\bigl(f(x_b)-f(x_a)\bigr).
Aqui x_a=\pi/3, x_b=\pi/2, f(x)=\operatorname{sen} x.

Passo 5

Calculo a fração relativa \dfrac{7\pi/18-\pi/3}{\pi/2-\pi/3}. Em termos de \pi/18:
7\pi/18-\pi/3=7\pi/18-6\pi/18=\frac{\pi}{18},
\pi/2-\pi/3=\frac{9\pi}{18}-\frac{6\pi}{18}=\frac{3\pi}{18}=\frac{\pi}{6}.
Portanto
\frac{7\pi/18-\pi/3}{\pi/2-\pi/3}=\frac{\pi/18}{\pi/6}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Aplicando a interpolação:
\operatorname{sen}\bigl(7\pi/18\bigr)\approx \operatorname{sen}\bigl(\pi/3\bigr)+\frac{1}{3}\bigl(\operatorname{sen}\bigl(\pi/2\bigr)-\operatorname{sen}\bigl(\pi/3\bigr)\bigr).
Substituindo os valores da tabela (peguei-os da tabela):
\operatorname{sen}\bigl(7\pi/18\bigr)\approx 0,87+\frac{1}{3}(1,00-0,87)=0,87+\frac{1}{3}\cdot0,13=0,87+0,043333\ldots
\operatorname{sen}\bigl(7\pi/18\bigr)\approx 0,913333\ldots = \frac{137}{150}.

Passo 7

Calculo agora \operatorname{sen}^{2}\bigl(7\pi/18\bigr). Usando o valor aproximado obtido:
\operatorname{sen}^{2}\bigl(7\pi/18\bigr)\approx\left(\frac{137}{150}\right)^{2}=\frac{18769}{22500}\approx0,834177777\ldots

Passo 8

Multiplico por 2 o numerador da função:
2\operatorname{sen}^{2}\bigl(7\pi/18\bigr)\approx 2\cdot0,834177777\ldots =1,668355555\ldots

Passo 9

Calculo o denominador 11\pi/18+1. Usando \pi\approx3,141592653589793,
\frac{11\pi}{18}\approx 11\cdot0,17453292519943295\approx1,9198621771937625,
11\pi/18+1\approx 2,9198621771937625.

Passo 10

Faço a divisão para obter f(11\pi/18):
f\bigl(11\pi/18\bigr)\approx\frac{1,6683555555555556}{2,9198621771937625}\approx0,571548127\ldots
Arredondando para quatro casas decimais, por exemplo, fica 0,5715. Força aí — deu trabalho, mas é só seguir os passos na prova!

Resposta

0,571548127 (aproximadamente 0,5715)

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