Seja a função \frac{2 \operatorname{sen}^{2} x}{x+1}. Determine:
\mathrm{f}(\pi / 16) utilizando apenas os valores disponíveis na tabela abaixo:
\mathbf{i} \mathbf{x}_{\mathbf{i}} \operatorname{sen}\left(\mathbf{x}_{\mathbf{i}}\right)
0 0 0,00
1 \pi / 6 0,50
2 \pi / 4 0,71
3 \pi / 3 0,87
4 \pi / 2 1,00

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
  • Pede-se calcular f(\pi/16) para a função
f(x)=\frac{2\,\operatorname{sen}^{2} x}{x+1}.
  • Tabela de valores fornecida (vou repetir as entradas, que são informações relevantes):
    \;x_{0}=0,\;\operatorname{sen}(x_{0})=0
    \;x_{1}=\pi/6,\;\operatorname{sen}(x_{1})=0,50
    \;x_{2}=\pi/4,\;\operatorname{sen}(x_{2})=0,71
    \;x_{3}=\pi/3,\;\operatorname{sen}(x_{3})=0,87
    \;x_{4}=\pi/2,\;\operatorname{sen}(x_{4})=1,00
Observação importante: o valor \pi/16 que precisamos não aparece na tabela, por isso teremos que aproximar \operatorname{sen}(\pi/16) usando apenas os valores disponíveis acima. A resolução começa agora.

Passo 2

Escolher quais pontos da tabela usar para aproximar \operatorname{sen}(\pi/16).
  • Primeiro identifico onde está \pi/16 em relação aos pontos dados. Comparando numericamente:
\frac{\pi}{16}\approx 0,\!19635,\qquad \frac{\pi}{6}\approx 0,\!52360.
Logo 0=\;x_{0} < \pi/16 < x_{1}=\pi/6. Portanto os dois pontos mais próximos da tabela que cercam \pi/16 são x_{0}=0 e x_{1}=\pi/6. Vou usar esses dois pontos para aproximar \operatorname{sen}(\pi/16).

Passo 3

Explicar e aplicar a interpolação linear (o método que vou usar) — o que é e por que aqui é a opção mais simples.
  • Interpolação linear entre dois pontos (x_{0},y_{0}) e (x_{1},y_{1}) fornece, para um x entre x_{0} e x_{1}, a aproximação
y \approx y_{0} + (y_{1}-y_{0})\cdot\frac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • x_0,x_1 são as abscissas conhecidas;
    • y_0,y_1 são os valores da função nessas abscissas;
    • x é o ponto onde queremos estimar a função;
    • A fração \dfrac{x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}} é a posição relativa de x entre x_{0} e x_{1}.
  • Intuição rápida: traçamos a reta que passa por (x_0,y_0) e (x_1,y_1) e lemos o valor no x pedido. É o método mais básico e exige apenas os dois valores mais próximos da tabela — por isso é compatível com a regra de “usar apenas os valores disponíveis”.

Passo 4

Aplicar a interpolação linear para aproximar \operatorname{sen}(\pi/16) usando os pontos (0,0) e (\pi/6,0,50).
  • Aqui x_{0}=0,\;y_{0}=\operatorname{sen}(0)=0 e x_{1}=\pi/6,\;y_{1}=\operatorname{sen}(\pi/6)=0,50. Substituindo na fórmula:
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 0 + \bigl(0,50-0\bigr)\cdot\frac{\frac{\pi}{16}-0}{\frac{\pi}{6}-0}.
  • Simplificando a fração envolvendo \pi (o \pi cancela):
\frac{\frac{\pi}{16}}{\frac{\pi}{6}}=\frac{\pi}{16}\cdot\frac{6}{\pi}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}.
  • Portanto
\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 0,50\cdot\frac{3}{8}=\frac{3}{16}=0,1875.
Observação: obtivemos \operatorname{sen}(\pi/16) aproximado exatamente como \frac{3}{16} pela escolha dos pontos — aqui a razão das abscissas fez o \pi simplificar.

Passo 5

Calcular \operatorname{sen}^{2}(\pi/16) a partir da aproximação encontrada.
  • Como \operatorname{sen}(\pi/16)\approx \dfrac{3}{16}, então
\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx\left(\frac{3}{16}\right)^{2}=\frac{9}{256}=0,03515625.

Passo 6

Calcular o numerador 2\,\operatorname{sen}^{2}(\pi/16).
2\,\operatorname{sen}^{2}\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx 2\cdot\frac{9}{256}=\frac{18}{256}=\frac{9}{128}=0,0703125.

Passo 7

Calcular o denominador \frac{\pi}{16}+1 (manter em forma fracionária para facilitar simplificação exata).
\frac{\pi}{16}+1=\frac{\pi+16}{16}\approx 1,1963495.

Passo 8

Dividir numerador pelo denominador e simplificar exatamente quando possível.
  • Temos
f\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx \frac{\dfrac{9}{128}}{\dfrac{\pi+16}{16}}.
  • Multiplicando em forma de frações:
\frac{9}{128}\cdot\frac{16}{\pi+16}=\frac{9\cdot 16}{128(\pi+16)}=\frac{144}{128(\pi+16)}.
  • Simplificando \dfrac{144}{128}=\dfrac{9}{8}, obtemos a forma simplificada
f\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx \frac{9}{8(\pi+16)}.

Passo 9

Calcular a aproximação numérica final e comentar a precisão.
  • Substituindo \pi\approx 3,14159265 na expressão \dfrac{9}{8(\pi+16)}:
f\!\left(\frac{\pi}{16}\right)\approx \frac{9}{8(16+3,14159265)}=\frac{9}{153,1327412}\approx 0,05879.
  • Observação sobre precisão: usamos interpolação linear para \operatorname{sen}(\pi/16). Essa é uma aproximação simples — para ângulos pequenos a linear é razoável, mas existe erro em relação ao valor verdadeiro da função trigonométrica; se você tivesse uma tabela mais específica para pontos mais próximos, a aproximação melhoraria. Mesmo assim, o resultado dado é consistente e fácil de calcular sem calculadora avançada.

Passo 10

Resumo final curto e incentivo.
  • Concluímos a aproximação de f(\pi/16) usando apenas os valores da tabela, passo a passo. Você fez bem em pedir um procedimento detalhado — é exatamente assim que dá pra resolver no caderno durante a prova. Vai dar certo, respira, e tenta praticar mais dois exemplos rápidos de interpolação para fixar.

Resposta

\frac{9}{8(\pi+16)}\approx 0,05879

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