Seja a função
. Determine:
utilizando apenas os valores disponíveis na tabela abaixo:
0
0
0,00
1
0,50
2
0,71
3
0,87
4
1,00
|
|
|
|
| 0 | 0 | 0,00 |
| 1 |
|
0,50 |
| 2 |
|
0,71 |
| 3 |
|
0,87 |
| 4 |
|
1,00 |
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados disponíveis.
- Pede-se calcular
para a função
- Tabela de valores fornecida (vou repetir as entradas, que são informações relevantes):
Observação importante: o valor
que precisamos não aparece na tabela, por isso teremos que aproximar
usando apenas os valores disponíveis acima. A resolução começa agora.
Passo 2
Escolher quais pontos da tabela usar para aproximar
.
- Primeiro identifico onde está
em relação aos pontos dados. Comparando numericamente:
Logo
. Portanto os dois pontos mais próximos da tabela que cercam
são
e
. Vou usar esses dois pontos para aproximar
.
Passo 3
Explicar e aplicar a interpolação linear (o método que vou usar) — o que é e por que aqui é a opção mais simples.
- Interpolação linear entre dois pontos
e fornece, para um entre e , a aproximação
- O que cada símbolo significa:
-
são as abscissas conhecidas; -
são os valores da função nessas abscissas; -
é o ponto onde queremos estimar a função; - A fração
é a posição relativa de entre e .
-
- Intuição rápida: traçamos a reta que passa por
e e lemos o valor no pedido. É o método mais básico e exige apenas os dois valores mais próximos da tabela — por isso é compatível com a regra de “usar apenas os valores disponíveis”.
Passo 4
Aplicar a interpolação linear para aproximar
usando os pontos
e
.
- Aqui
e . Substituindo na fórmula:
- Simplificando a fração envolvendo
(o cancela):
- Portanto
Observação: obtivemos
aproximado exatamente como
pela escolha dos pontos — aqui a razão das abscissas fez o
simplificar.
Passo 5
Calcular
a partir da aproximação encontrada.
- Como
, então
Passo 6
Calcular o numerador
.
Passo 7
Calcular o denominador
(manter em forma fracionária para facilitar simplificação exata).
Passo 8
Dividir numerador pelo denominador e simplificar exatamente quando possível.
- Temos
- Multiplicando em forma de frações:
- Simplificando
, obtemos a forma simplificada
Passo 9
Calcular a aproximação numérica final e comentar a precisão.
- Substituindo
na expressão :
- Observação sobre precisão: usamos interpolação linear para
. Essa é uma aproximação simples — para ângulos pequenos a linear é razoável, mas existe erro em relação ao valor verdadeiro da função trigonométrica; se você tivesse uma tabela mais específica para pontos mais próximos, a aproximação melhoraria. Mesmo assim, o resultado dado é consistente e fácil de calcular sem calculadora avançada.
Passo 10
Resumo final curto e incentivo.
- Concluímos a aproximação de
usando apenas os valores da tabela, passo a passo. Você fez bem em pedir um procedimento detalhado — é exatamente assim que dá pra resolver no caderno durante a prova. Vai dar certo, respira, e tenta praticar mais dois exemplos rápidos de interpolação para fixar.