Esboce as curvas de nível e as superfícies de nível:
w=f(x, y, z)=x^2+y^2

Passo 1

O enunciado nos dá a função de três variáveis
w = f(x,y,z) = x^2 + y^2,
e pede para esboçar
– as curvas de nível (no plano)
– as superfícies de nível (no espaço).
O conteúdo aqui é o estudo de conjuntos de contorno definidos por f(x,y,z)=k.

Passo 2

Para cada valor fixo kinR, o nível é dado por
f(x,y,z)=k Long<=ftrightarrow x^2+y^2=k
Note que a variável z não aparece na equação do nível, então esses conjuntos não dependem de z.

Passo 3

Curvas de nível (no plano z=constante):
– Se k<0, não há pontos reais.
– Se k=0, fica x^2+y^2=0, que é apenas a origem (0,0).
– Se k>0, fica x^2+y^2=k, ou seja, círculos de raio raizk centrados na origem.
Para esboçar, no plano xy desenhe círculos concêntricos de raios raizk para alguns k>0.

Passo 4

Superfícies de nível (no espaço (x,y,z)):
A condição x^2+y^2=k define, para cada k>0, um cilindro circular de raio raizk cuja geratriz é paralela ao eixo z.
– Para k=0, a superfície degenerada é o próprio eixo z.
– Para k>0, cada superfície é o cilindro
(x,y,z)mid x^2+y^2=k,; zinR

Passo 5

Resumo gráfico:
Curvas de nível em um plano horizontal z=constante: círculos concêntricos de raios raizk.
Superfícies de nível no espaço: cilindros circulares de raios raizk, abertos ao longo de todo o eixo z.

Resposta

As curvas de nível são círculos x^2+y^2=k (raio raizk) no plano z=constante.
As superfícies de nível são cilindros x^2+y^2=k estendidos ao longo do eixo z.

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