Esboce as curvas de nível e as superfícies de nível:
w=f(x, y, z)=x

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe as curvas de nível e as superfícies de nível da função
w = f(x,y,z) = x
Aqui o domínio é R^3 e o contradomínio é R. Para resolver precisamos usar a definição de nível de uma função de três variáveis:
  • superfície de nível para um valor k é o conjunto (x,y,z)mid f(x,y,z)=k.
  • Se quisermos visualizar curvas de nível no espaço usual 3D, podemos fixar uma coordenada (por exemplo z=z0) e então traçar, nesse plano, as curvas f(x,y,z0)=k.

Passo 2

Definimos a superfície de nível para um valor k. Como
f(x,y,z)=x,
a condição f(x,y,z)=k vira
x = k
Logo, para cada k fixo, a superfície de nível é o plano
(x,y,z)inR^3 mid x = k,
que é um plano perpendicular ao eixo x e paralelo ao plano yz.

Passo 3

Para visualizar as curvas de nível em um plano de seção, basta fixar z=z0. Nesse plano z=z0 temos ainda
f(x,y,z0)=x,
e a curva de nível f(x,y,z0)=k é
x = k
no próprio plano z=z0. Isso é uma reta paralela ao eixo y localizada em x=k.

Passo 4

Juntando todas essas retas conforme z0 varia, obtemos justamente o plano x=k. Assim, a cada valor de nível k correspondem:
  1. Em cada plano horizontal z=z0, a reta x=k paralela a y.
  2. No espaço todo, o conjunto dessas retas para todo z0 forma o plano x=k.

Passo 5

Esquematicamente:
  • As curvas de nível em qualquer fatia z=z0 são linhas verticais (paralelas a y) situadas em x=k.
  • As superfícies de nível são planos paralelos ao plano yz, deslocados ao longo do eixo x, cada um dado por x=k.

Resposta

Para cada kinR:
bul<=t curva de nível em z=z0: reta x=k paralela a y.
bul<=t superfície de nível no espaço: plano x=k.

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