Esboce as curvas de nível e as superfícies de nível:
Passo 1
O enunciado pede que a gente desenhe as curvas de nível e as superfícies de nível da função
Aqui o domínio é
e o contradomínio é
. Para resolver precisamos usar a definição de nível de uma função de três variáveis:
- superfície de nível para um valor
é o conjunto . - Se quisermos visualizar curvas de nível no espaço usual 3D, podemos fixar uma coordenada (por exemplo
) e então traçar, nesse plano, as curvas .
Passo 2
Definimos a superfície de nível para um valor
. Como
a condição
vira
Logo, para cada
fixo, a superfície de nível é o plano
que é um plano perpendicular ao eixo
e paralelo ao plano
.
Passo 3
Para visualizar as curvas de nível em um plano de seção, basta fixar
. Nesse plano
temos ainda
e a curva de nível
é
no próprio plano
. Isso é uma reta paralela ao eixo
localizada em
.
Passo 4
Juntando todas essas retas conforme
varia, obtemos justamente o plano
. Assim, a cada valor de nível
correspondem:
- Em cada plano horizontal
, a reta paralela a . - No espaço todo, o conjunto dessas retas para todo
forma o plano .
Passo 5
Esquematicamente:
- As curvas de nível em qualquer fatia
são linhas verticais (paralelas a ) situadas em . - As superfícies de nível são planos paralelos ao plano
, deslocados ao longo do eixo , cada um dado por .
Resposta
Para cada
:
curva de nível em
: reta
paralela a
.
superfície de nível no espaço: plano
.