Calcule as integrais a seguir por substituição trigonométrica:
integral 1t^4 raizt^2-1 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1t^4raizt^2-1,dt
usando substituição trigonométrica. Vamos usar a substituição adequada para expressar raizt^2-1 em termos de funções trigonométricas e simplificar o integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = sectheta,
de modo que
raizt^2-1 = raizsec^2theta - 1 = tantheta,
e
dt = sectheta,tantheta,dtheta

Passo 3

Substituindo em integral t^-4(t^2-1)^-1/2,dt obtemos
integral 1sec^4theta ,tantheta;l(sectheta,tantheta,dthetar) = integral sectheta,tanthetasec^4theta,tantheta,dtheta = integral 1sec^3theta,dtheta = integral cos^3theta,dtheta

Passo 4

Para integrar integral cos^3theta,dtheta escrevemos
cos^3theta = costheta,(1-sin^2theta)
e usamos u=sintheta, du=costheta,dtheta. Assim
integral cos^3theta,dtheta = integral (1-u^2),du = u - u^33 + C = sintheta - sin^3theta3 + C

Passo 5

Volta à variável t. Como t=sectheta temos
sintheta = raiz1-cos^2theta = raiz1-1t^2 = raizt^2-1t
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sintheta - sin^3theta3 = raizt^2-1t - 13,l(raizt^2-1r)^3t^3 = raizt^2-1t - (t^2-1)^3/23,t^3
Colocando em denominador comum 3t^3, resulta
3t^2,raizt^2-1 - (t^2-1)^3/23t^3 = (t^2-1)^1/2,l(3t^2 - (t^2-1)r)3t^3 = (2t^2+1),raizt^2-13,t^3 + C

Resposta

integral 1t^4raizt^2-1,dt = (2t^2+1),raizt^2-13,t^3 + C

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