Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
sumn=0^+infty(2 x-6)^2 n

Passo 1

O enunciado pede os valores de x para os quais a série
sumn=0^+infty(2x-6)^2n
converge. Aqui o conteúdo é série geométrica, pois podemos ver que cada termo é da forma l((2x-6)^2r)^n. Para resolver vamos usar o critério de convergência da série geométrica e depois verificar os extremos do intervalo.

Passo 2

Perceba que
(2x-6)^2n = l((2x-6)^2r)^n,
ou seja, trata-se de uma série geométrica com razão
r = (2x-6)^2
Sabemos que uma série geométrica sum r^n converge se, e somente se, lvert rrvert<1.

Passo 3

Aplicando isso ao nosso caso, precisamos de
lvert(2x-6)^2rvert < 1
Como (2x-6)^2>=0 sempre, basta
(2x-6)^2 < 1

Passo 4

Resolvendo a desigualdade
-1 < 2x - 6 < 1
somamos 6 em todas as partes:
5 < 2x < 7
e dividimos por 2:
52 < x < 72
Logo a convergência ocorre para xinl(tfrac52,tfrac72r).

Passo 5

Nos extremos x=tfrac52 ou x=tfrac72 temos (2x-6)^2=1, o que faz o termo geral igual a 1 e a série sum1 divergir. Portanto, os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.

Resposta

O intervalo de convergência é
l(tfrac52,tfrac72r)

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