Determine os intervalos de convergência das séries abaixo:
Passo 1
O enunciado pede os valores de
para os quais a série
converge. Aqui o conteúdo é série geométrica, pois podemos ver que cada termo é da forma
. Para resolver vamos usar o critério de convergência da série geométrica e depois verificar os extremos do intervalo.
Passo 2
Perceba que
ou seja, trata-se de uma série geométrica com razão
Sabemos que uma série geométrica
converge se, e somente se,
.
Passo 3
Aplicando isso ao nosso caso, precisamos de
Como
sempre, basta
Passo 4
Resolvendo a desigualdade
somamos
em todas as partes:
e dividimos por
:
Logo a convergência ocorre para
.
Passo 5
Nos extremos
ou
temos
, o que faz o termo geral igual a
e a série
divergir. Portanto, os extremos não pertencem ao intervalo de convergência.
Resposta
O intervalo de convergência é