Calcule as integrais a seguir por substituição trigonométrica:
integral x+1raizx^2+4 x+5 d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral x+1raizx^2+4x+5,dx
usando substituição trigonométrica. O conteúdo envolve completar o quadrado em x^2+4x+5 e depois usar uma substituição como x+2=tantheta.

Passo 2

Primeiro completamos o quadrado em x^2+4x+5:
x^2+4x+5 = (x+2)^2+1
Fazemos a substituição
x+2 = tantheta, dx = sec^2theta,dtheta, raiz(x+2)^2+1 = sectheta

Passo 3

Reescrevemos o numerador x+1 em função de theta:
x+1 = (x+2)-1 = tantheta - 1
Logo a integral vira
integral x+1raizx^2+4x+5,dx = integral tantheta - 1sectheta,sec^2theta,dtheta = integral (tantheta - 1),sectheta,dtheta = integrall(tanthetasectheta - secthetar),dtheta

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
integral tanthetasectheta,dtheta = sectheta, integral sectheta,dtheta = lnl|sectheta + tanthetar|
Portanto
integral (tanthetasectheta - sectheta),dtheta = sectheta - lnl|sectheta + tanthetar| + C

Passo 5

Voltando a x, temos
sectheta = raiz(x+2)^2+1 = raizx^2+4x+5, tantheta = x+2
Assim a resposta final é
raizx^2+4x+5 -lnl|x+2+raizx^2+4x+5r|+C

Resposta

integral x+1raizx^2+4x+5,dx = raizx^2+4x+5 -lnl|x+2+raizx^2+4x+5r|+C

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