Calcule as integrais a seguir, usando coordenadas polares.
integral duplaD e^-x^2-y^2 d A, D é região delimitada pelo semicírculo x=raiz4-y^2 e o eixo y.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA
onde D é a região no semicírculo de raio 2 à direita do eixo y (limitada por x=raiz4-y^2 e x=0). O conteúdo usado será a mudança para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
e a descrição do domínio em (r,theta).

Passo 2

Em coordenadas cartesianas
D = (x,y)mid 0<= x<= raiz4-y^2,,-2<= y<= 2,
que corresponde ao semicírculo de raio 2 com x>=0. Em coordenadas polares isso vira
0<= r<= 2, -tfracpi2<= theta<= tfracpi2

Passo 3

Substituindo x^2+y^2=r^2 e dA=r,dr,dtheta, a integral fica
integral duplaD e^-x^2-y^2,dA =integraltheta=-pi/2^pi/2integralr=0^2 e^-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Observe que dá para separar as integrais em r e em theta:
integral-pi/2^pi/2dtheta;times;integral0^2e^-r^2,r,dr

Passo 5

Calcule a integral em r:
integral0^2e^-r^2,r,dr =-12e^-r^2|0^2 =-12l(e^-4-1r) =12l(1-e^-4r)

Passo 6

Calcule a integral em theta:
integral-pi/2^pi/2dtheta =pi

Passo 7

Multiplicando os resultados das duas integrais:
pitimes12l(1-e^-4r) =pi2l(1-e^-4r)

Resposta

pi2l(1-e^-4r)

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