Seja uma lâmina que ocupa a região triangular D delimitada pelas retas x=0, y=x e y=6-2 x e tem função densidade rho(x, y)=x^2.
Determine os momentos de inércia Ix, Iy e I0 da lâmina.

Passo 1

O enunciado trata de uma lâmina com densidade rho(x,y)=x^2 que ocupa o triângulo D limitado pelas retas x=0, y=x e y=6-2x. Primeiro encontramos os vértices da região:
  • Interseção de y=x e y=6-2x x=2, y=2.
    Logo, em coordenadas cartesianas podemos tomar
0<= x<= 2, x<= y<= 6-2x
As definições dos momentos de inércia são
Ix=integral duplaD y^2,rho(x,y),dA, Iy=integral duplaD x^2,rho(x,y),dA, I0=integral duplaD (x^2+y^2),rho(x,y),dA = Ix + Iy

Passo 2

Calcular Iy:
Iy = integral duplaD x^2,(x^2),dA = integralx=0^2integraly=x^6-2x x^4 ,dy,dx = integral0^2 x^4l[(6-2x)-xr],dx = integral0^2 (6x^4 - 3x^5),dx
Integramos:
integral0^26x^4,dx = 6cdotx^55|0^2 = 6cdot325=1925, integral0^23x^5,dx = 3cdotx^66|0^2 = 3cdot646=32
Portanto
Iy = 1925 - 32 = 192 - 1605 = 325

Passo 3

Calcular Ix:
Ix = integral duplaD y^2,(x^2),dA = integral0^2 x^2!!!integraly=x^6-2x y^2,dy,dx = integral0^2 x^2[(6-2x)^33-x^33]dx
Expandindo (6-2x)^3 = 216 -216x +72x^2 -8x^3 e subtraindo x^3 216 -216x +72x^2 -9x^3. Assim
Ix = 13integral0^2x^2l(216 -216x +72x^2 -9x^3r)dx = 13integral0^2(216x^2 -216x^3 +72x^4 -9x^5),dx
Integramos termo a termo e avaliamos em 0 e 2, obtendo no final
Ix = 13,3845=38415=1285

Passo 4

O momento polar em relação ao eixo que passa pela origem é
I0 = Ix + Iy = 1285 + 325 = 1605 = 32

Resposta

Ix = tfrac1285, Iy = tfrac325, I0 = 32

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