Seja uma lâmina que ocupa a região triangular
delimitada pelas retas
,
e
e tem função densidade
.
Determine os momentos de inércia
e
da lâmina.
Determine os momentos de inércia
Passo 1
O enunciado trata de uma lâmina com densidade
que ocupa o triângulo
limitado pelas retas
,
e
. Primeiro encontramos os vértices da região:
- Interseção de
e dá , .
Logo, em coordenadas cartesianas podemos tomar
As definições dos momentos de inércia são
Passo 2
Calcular
:
Integramos:
Portanto
Passo 3
Calcular
Ix :
Expandindo
(6-2x)^3 = 216 -216x +72x^2 -8x^3 e subtraindo
x^3 dá
216 -216x +72x^2 -9x^3 . Assim
Integramos termo a termo e avaliamos em
0 e
2 , obtendo no final
Passo 4
O momento polar em relação ao eixo que passa pela origem é