Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, bem como os valores de máximo e mínimo absoluto da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função
no intervalo
. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas na matemática, que nos ajuda a encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos dentro desse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função
. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar onde a inclinação é zero, ou seja, onde podem estar os máximos e mínimos.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada
é um polinômio e existe para todo
, então basta resolver
:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
Passo 4
Resolvendo a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
onde
,
, e
.
Calculando o discriminante:
Então:
Isso nos dá duas soluções:
Passo 5
Agora que temos os pontos críticos
e
, precisamos avaliar a função
nesses pontos, além dos pontos finais do intervalo
e
, para determinar os máximos e mínimos absolutos.
Vamos calcular
para cada um desses valores:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 6
Analisando os valores obtidos:
O maior valor é 20 em
e o menor valor é -7 em
.
Resposta
Os pontos de máximo absoluto e mínimo absoluto da função
no intervalo
são:
- Máximo absoluto de valor 20 em
. - Mínimo absoluto de valor -7 em
.