Determine os pontos de máximo e mínimo absolutos, bem como os valores de máximo e mínimo absoluto da função f(x)=2 x^3+3 x^2-12 x, x in[-3,2].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos de máximo e mínimo absolutos da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x no intervalo [-3, 2]. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas na matemática, que nos ajuda a encontrar onde a função atinge seus pontos mais altos e mais baixos dentro desse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função f(x) . A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto e nos ajuda a encontrar onde a inclinação é zero, ou seja, onde podem estar os máximos e mínimos.
A derivada de f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x é:
f'(x) = ddx(2x^3) + ddx(3x^2) - ddx(12x) = 6x^2 + 6x - 12

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, que são os valores de x onde a derivada é zero ou não existe. Nesse caso, nossa derivada f'(x) = 6x^2 + 6x - 12 é um polinômio e existe para todo x , então basta resolver f'(x) = 0 :
6x^2 + 6x - 12 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 6:
x^2 + x - 2 = 0

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática x^2 + x - 2 = 0 usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
onde a = 1 , b = 1 , e c = -2 .
Calculando o discriminante:
De<a = b^2 - 4ac = 1 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
Então:
x = -1 pm raiz92 = -1 pm 32
Isso nos dá duas soluções:
x = -1 + 32 = 1 e x = -1 - 32 = -2

Passo 5

Agora que temos os pontos críticos x = 1 e x = -2 , precisamos avaliar a função f(x) nesses pontos, além dos pontos finais do intervalo x = -3 e x = 2 , para determinar os máximos e mínimos absolutos.
Vamos calcular f(x) para cada um desses valores:
  1. x = -3 :
f(-3) = 2(-3)^3 + 3(-3)^2 - 12(-3) = 2(-27) + 3(9) + 36 = -54 + 27 + 36 = 9
  1. x = -2 :
f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 12(-2) = 2(-8) + 3(4) + 24 = -16 + 12 + 24 = 20
  1. x = 1 :
f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 12(1) = 2 + 3 - 12 = -7
  1. x = 2 :
f(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 12(2) = 2(8) + 3(4) - 24 = 16 + 12 - 24 = 4

Passo 6

Analisando os valores obtidos:
  • f(-3) = 9
  • f(-2) = 20
  • f(1) = -7
  • f(2) = 4
O maior valor é 20 em x = -2 e o menor valor é -7 em x = 1 .

Resposta

Os pontos de máximo absoluto e mínimo absoluto da função f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 12x no intervalo [-3, 2] são:
  • Máximo absoluto de valor 20 em x = -2 .
  • Mínimo absoluto de valor -7 em x = 1 .

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