Calcule:
integral sen(ln t) dt

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral sin(ln t),dt. O conteúdo principal envolve substituição de variável ( u=ln t) para simplificar a expressão e, na sequência, aplicar integração por partes para resolver a integral resultante.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = ln t,
implica
t = e^u,
dt = e^u,du
Substituindo em integral sin(ln t),dt, obtemos
integral sin(u),e^u,du

Passo 3

Definimos
I = integral e^usin u,du
e aplicamos integração por partes duas vezes. Primeiro, escolhemos
a = sin u, & db = e^u,du, da = cos u,du, & b = e^u
Isso dá
I = e^usin u - integral e^ucos u,du
Chamando
J
e repetindo partes em J = e^ucos u + I , obtemos
I
Substituindo de volta em I e resolvendo para 2I = e^u(sin u - cos u) , achamos
I = e^u2(sin u - cos u) + C
e portanto

Passo 4

Retropondo u = ln t e e^u = t, concluímos que
integral sin(ln t),dt = t2l[sin(ln t) - cos(ln t)r] + C

Resposta

t2l[sin(ln t) - cos(ln t)r] + C

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