Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
30. integral 2^x^2+1 x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral integral 2^x^2+1x,dx usando o método da substituição. O conteúdo envolvido é a técnica de substituição em integrais e a fórmula de integração de uma exponencial de base a: integral a^udu = a^u/ln(a) + C.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x^2+1. Então derivando, du = 2x,dx, ou seja, x,dx = tfrac12du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u temos:
integral 2^x^2+1x,dx = integral 2^ucdot 12,du = tfrac12 integral 2^u,du
Agora aplicamos a fórmula da integral da exponencial de base 2: integral 2^udu = 2^u/ln(2) + C.

Passo 4

Portanto,
tfrac12 integral 2^u,du = tfrac12cdot2^uln(2) + C = 2^u2ln(2) + C
Voltando à variável x, temos u = x^2+1.

Resposta

2^x^2+12ln(2) + C

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