Substituição trigonométrica
integral raiz4+9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral raiz4+9x^2,dx. Isso é um caso clássico de soma dentro de uma raiz com termo quadrático, então vamos usar substituição trigonométrica para transformar 4+9x^2 em algo como 1+tan^2, facilitando a integração.

Passo 2

Para “quadrado mais quadrado” do tipo a^2 + b^2x^2, a gente escolhe x = abtantheta. Aqui a=2 e b=3, então definimos
x = 23tantheta
Dessa escolha vem
dx = 23sec^2theta,dtheta
e
raiz4 + 9x^2 = raiz4 + 9l(tfrac23tanthetar)^2 = raiz4 + 4tan^2theta = 2sectheta

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
integral raiz4+9x^2,dx = integral l(2secthetar)cdotl(tfrac23sec^2theta,dthetar) = 43integral sec^3theta,dtheta
Agora reduzimos ao problema de calcular integralsec^3theta,dtheta.

Passo 4

Para integrar sec^3theta usamos a técnica de partes ou recorremos à fórmula conhecida:
integral sec^3theta,dtheta = 12l(secthetatantheta + lnlvertsectheta + tanthetarvertr) + C
Então
43integral sec^3theta,dtheta = 43cdot12l(secthetatantheta + lnlvertsectheta + tanthetarvertr) + C = 23l(secthetatantheta + lnlvertsectheta + tanthetarvertr)+C

Passo 5

Fazendo a volta para x: temos tantheta = tfrac3x2 e sectheta = raiz1+tan^2theta = tfracraiz4+9x^22. Substituindo esses na expressão acima e simplificando (absorvendo constantes em C) a gente chega em
xraiz4+9x^22 + 23lnllvertraiz4+9x^2+3xrrvert + C

Resposta

integral raiz4+9x^2,dx = xraiz4+9x^22 + 23lnllvertraiz4+9x^2+3xrrvert + C.

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