Dar uma parametrização
da esfera centrada na origem e de raio
e achar o vetor normal exterior para todo ponto em coordenadas esfericas e em coordenadas cartesians.
da esfera centrada na origem e de raio
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a esfera de centro na origem e raio
, e em seguida achar o vetor normal exterior a cada ponto, tanto escrito em coordenadas esféricas quanto em coordenadas cartesianas. Vamos usar parametrização em termos dos ângulos
(colatitude) e
(azimute), calcular vetores tangentes, usar produto vetorial para obter a normal, e depois normalizar.
Passo 2
Escolhemos como parâmetros
com
e
. A parametrização da esfera é
Passo 3
Calculamos os vetores tangentes:
Passo 4
Fazendo o produto vetorial
, obtemos um vetor normal (não unitário)
Passo 5
Para ter o vetor normal unitário (e orientado para fora), dividimos por seu módulo
. Isso dá o versor radial
Passo 6
Em termos de coordenadas esféricas, esse versor é exatamente
, que em componentes esféricas é
Passo 7
Em coordenadas cartesianas, como cada ponto da esfera satisfaz
, etc., o vetor normal unitário pode ser escrito de forma compacta como
Resposta
Parametrização:
Vetor normal unitário (exterior):
Em coordenadas esféricas:
Em coordenadas cartesianas: