Dar uma parametrização
da esfera centrada na origem e de raio r e achar o vetor normal exterior para todo ponto em coordenadas esfericas e em coordenadas cartesians.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a esfera de centro na origem e raio r, e em seguida achar o vetor normal exterior a cada ponto, tanto escrito em coordenadas esféricas quanto em coordenadas cartesianas. Vamos usar parametrização em termos dos ângulos phi (colatitude) e theta (azimute), calcular vetores tangentes, usar produto vetorial para obter a normal, e depois normalizar.

Passo 2

Escolhemos como parâmetros (phi,theta) com 0<=phi<=pi e 0<=theta<2pi. A parametrização da esfera é
X(phi,theta)=l(r,sinphicostheta,;r,sinphisintheta,;r,cosphir)

Passo 3

Calculamos os vetores tangentes:
Xphi=(r,cosphicostheta,;r,cosphisintheta,;-r,sinphi),
Xtheta=(-r,sinphisintheta,;r,sinphicostheta,;0)

Passo 4

Fazendo o produto vetorial Xphitimes Xtheta, obtemos um vetor normal (não unitário)
Xphitimes Xtheta=r^2,sinphi,l(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir)

Passo 5

Para ter o vetor normal unitário (e orientado para fora), dividimos por seu módulo |Xphitimes Xtheta|=r^2sinphi. Isso dá o versor radial
n=l(sinphicostheta,;sinphisintheta,;cosphir)

Passo 6

Em termos de coordenadas esféricas, esse versor é exatamente er, que em componentes esféricas é
n=(1,0,0)(r,theta,phi)

Passo 7

Em coordenadas cartesianas, como cada ponto da esfera satisfaz x=rsinphicostheta, etc., o vetor normal unitário pode ser escrito de forma compacta como
n=1r(x,y,z)

Resposta

Parametrização:
X(phi,theta)=l(rsinphicostheta,;rsinphisintheta,;rcosphir),0<=phi<=pi,;0<=theta<2pi
Vetor normal unitário (exterior):
Em coordenadas esféricas: n=er=(1,0,0)(r,theta,phi)
Em coordenadas cartesianas: n(x,y,z)=1r(x,y,z)

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