Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{e^{x} d x}{e^{2 x}+16}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+16}.
Informações dadas e o que se pede:
  • Integrar a função \dfrac{e^{x}}{e^{2x}+16} em relação a x.
  • Não há limites, é uma primitiva indefinida; então devemos entregar a antiderivada mais a constante de integração C.

Passo 2

Observação inicial e escolha da substituição: note que e^{2x}=(e^{x})^{2}. Isso sugere transformar a expressão em termos de u=e^{x}, porque o numerador contém e^{x} (que é exatamente du até um fator). A ideia do Método da Substituição é escolher uma nova variável u tal que sua diferencial apareça no integrando, simplificando a integral.

Passo 3

Faça a substituição escolhida. Definimos
u = e^{x}.
Agora calcule a diferencial du. Como u=e^{x}, temos
du = e^{x}\,dx.
Portanto o produto e^{x}\,dx do numerador é exatamente du. Substituindo na integral, e usando que e^{2x}=(e^{x})^{2}=u^{2}, obtemos
\int \frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}+16} = \int \frac{du}{u^{2}+16}.

Passo 4

Resolver a integral em u: \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+16}.
Essa é a forma padrão \displaystyle \int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} com a^{2}=16, ou seja a=4. A fórmula conhecida (que vamos justificar rapidamente) é
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{u}{a}\right) + C.
Justificativa curta: colocando v=\dfrac{u}{a} temos du=a\,dv e
\int \frac{du}{u^{2}+a^{2}} = \int \frac{a\,dv}{a^{2}v^{2}+a^{2}} = \int \frac{a\,dv}{a^{2}(v^{2}+1)} = \frac{1}{a}\int \frac{dv}{v^{2}+1} = \frac{1}{a}\arctan(v)+C,
e voltando a u dá a fórmula acima.

Passo 5

Aplicando a fórmula com a=4 à nossa integral em u:
\int \frac{du}{u^{2}+16} = \frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{u}{4}\right) + C.

Passo 6

Volte para a variável original x substituindo u=e^{x}:
\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{u}{4}\right) + C = \frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{e^{x}}{4}\right) + C.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): diferencie o resultado para checar se volta ao integrando. Derivando
\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{e^{x}}{4}\right)\right] = \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1+\left(\frac{e^{x}}{4}\right)^{2}}\cdot \frac{e^{x}}{4} = \frac{e^{x}}{16\left(1+\frac{e^{2x}}{16}\right)} = \frac{e^{x}}{e^{2x}+16},
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{e^{x}}{4}\right)+C

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