Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{e^{x} d x}{e^{2 x}+16}
\int \frac{e^{x} d x}{e^{2 x}+16}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas e o que se pede:
- Integrar a função
em relação a . - Não há limites, é uma primitiva indefinida; então devemos entregar a antiderivada mais a constante de integração
.
Passo 2
Observação inicial e escolha da substituição: note que
. Isso sugere transformar a expressão em termos de
, porque o numerador contém
(que é exatamente
até um fator). A ideia do Método da Substituição é escolher uma nova variável
tal que sua diferencial apareça no integrando, simplificando a integral.
Passo 3
Faça a substituição escolhida. Definimos
Agora calcule a diferencial
. Como
, temos
Portanto o produto
do numerador é exatamente
. Substituindo na integral, e usando que
, obtemos
Passo 4
Resolver a integral em
:
.
Essa é a forma padrão com
, ou seja
. A fórmula conhecida (que vamos justificar rapidamente) é
Essa é a forma padrão
Justificativa curta: colocando
temos
e
e voltando a
dá a fórmula acima.
Passo 5
Aplicando a fórmula com
à nossa integral em
:
Passo 6
Volte para a variável original
substituindo
:
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas bom para confiança): diferencie o resultado para checar se volta ao integrando. Derivando
que é exatamente o integrando, então a primitiva está correta.