Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d x}{16+x^{2}}
\int \frac{d x}{16+x^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
usando o Método da Substituição. Informação dada: a variável de integração é
e o integrando é
. Devemos encontrar uma antiderivada (mais a constante de integração
).
Passo 2
Ideia do Método da Substituição (explicação didática): escolhemos uma nova variável para simplificar a expressão dentro da integral. Aqui convém transformar
numa forma do tipo
para usar a antiderivada conhecida de
. Note que
, então uma escolha natural é
porque assim
e
, o que deixa o denominador em
.
Passo 3
Calcular o diferencial: a partir de
temos
Também reescrevemos o denominador usando
:
Passo 4
Fazer a substituição na integral, trocando
por
e
por
:
Agora simplificamos a constante:
portanto
Passo 5
Conhecimento básico usado (expliquei para você): a antiderivada de
é
porque a derivada de
é
. Uma forma rápida de ver isso é: se
então
; derivando dá
e
, logo
.
Assim,
Passo 6
Voltando à nossa integral com a constante fatorada:
Substituímos
de volta:
Passo 7
Observação final (método alternativo curto): é equivalente lembrar a fórmula direta
aqui com
obtém-se o mesmo resultado
.