Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{d x}{16+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{d x}{16+x^{2}}
usando o Método da Substituição. Informação dada: a variável de integração é x e o integrando é \dfrac{1}{16+x^{2}}. Devemos encontrar uma antiderivada (mais a constante de integração C).

Passo 2

Ideia do Método da Substituição (explicação didática): escolhemos uma nova variável para simplificar a expressão dentro da integral. Aqui convém transformar 16+x^{2} numa forma do tipo a^{2}(1+u^{2}) para usar a antiderivada conhecida de \dfrac{1}{1+u^{2}}. Note que 16=4^{2}, então uma escolha natural é
u=\frac{x}{4},
porque assim x=4u e x^{2}=16u^{2}, o que deixa o denominador em 16(1+u^{2}).

Passo 3

Calcular o diferencial: a partir de u=\dfrac{x}{4} temos
x=4u\quad\text{e}\quad dx=4\,du.
Também reescrevemos o denominador usando u:
16+x^{2}=16+16u^{2}=16(1+u^{2}).

Passo 4

Fazer a substituição na integral, trocando x por u e dx por 4\,du:
\int \frac{dx}{16+x^{2}}=\int \frac{4\,du}{16(1+u^{2})}.
Agora simplificamos a constante:
\frac{4}{16}=\frac{1}{4},
portanto
\int \frac{dx}{16+x^{2}}=\frac{1}{4}\int \frac{du}{1+u^{2}}.

Passo 5

Conhecimento básico usado (expliquei para você): a antiderivada de \dfrac{1}{1+u^{2}} é \arctan(u) porque a derivada de \arctan(u) é \dfrac{1}{1+u^{2}}. Uma forma rápida de ver isso é: se y=\arctan u então \tan y=u; derivando dá \operatorname{sec}^{2}y\cdot \dfrac{dy}{du}=1 e \operatorname{sec}^{2}y=1+\tan^{2}y=1+u^{2}, logo \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{1+u^{2}}.
Assim,
\int \frac{du}{1+u^{2}}=\arctan(u)+C.

Passo 6

Voltando à nossa integral com a constante fatorada:
\frac{1}{4}\int \frac{du}{1+u^{2}}=\frac{1}{4}\arctan(u)+C.
Substituímos u=\dfrac{x}{4} de volta:
\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{4}\right)+C.

Passo 7

Observação final (método alternativo curto): é equivalente lembrar a fórmula direta
\int \frac{dx}{a^{2}+x^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C,
aqui com a=4 obtém-se o mesmo resultado \dfrac{1}{4}\arctan\!\left(\dfrac{x}{4}\right)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{4}\right)+C

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