Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{2 \operatorname{sec} ^{2} \theta}{a+b \operatorname{tg} \theta} d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{a+b\operatorname{tg}\theta}\,d\theta.
Informações dadas:
  • A variável de integração é \theta.
  • A integranda é \dfrac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{a+b\operatorname{tg}\theta}.
  • a e b são constantes (não dependem de \theta).
    A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função em termos de \theta.

Passo 2

Observação didática sobre escolha da substituição: quando vemos uma razão com uma função a+b\operatorname{tg}\theta no denominador e \operatorname{sec}^{2}\theta no numerador, é natural tentar a substituição que torne o denominador uma nova variável, porque a derivada de \operatorname{tg}\theta é \operatorname{sec}^{2}\theta. Assim, escolhemos a substituição
u = a + b\operatorname{tg}\theta.
Aqui a ideia é usar a regra da cadeia “ao contrário”: se u depende de \theta e aparece \frac{u'}{u} integrando, a integral vira \ln|u|.

Passo 3

Calculemos du. Diferenciando u em relação a \theta,
du = b\cdot \frac{d}{d\theta}(\operatorname{tg}\theta)\,d\theta = b\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Desse modo obtemos
\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \frac{du}{b}.

Passo 4

Substituímos na integral original. Temos
\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{a+b\operatorname{tg}\theta}\,d\theta = 2\int \frac{\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{u} = 2\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{b}.
Fatorando constantes:
2\int \frac{1}{u}\cdot\frac{du}{b} = \frac{2}{b}\int \frac{du}{u}.

Passo 5

Agora lembramos a fórmula básica de integrais: a integral de 1/u é o logaritmo natural. Mais precisamente,
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C,
porque \frac{d}{du}\ln|u| = 1/u. Aplicando isso,
\frac{2}{b}\int \frac{du}{u} = \frac{2}{b}\ln|u| + C.

Passo 6

Voltando à variável original \theta, substituímos u = a + b\operatorname{tg}\theta. Assim a primitiva fica
\frac{2}{b}\ln\bigl|a+b\operatorname{tg}\theta\bigr| + C.

Passo 7

Verificação rápida (diferenciação): diferenciando \dfrac{2}{b}\ln|a+b\operatorname{tg}\theta| usando a regra da cadeia,
\frac{d}{d\theta}\left(\frac{2}{b}\ln|a+b\operatorname{tg}\theta|\right) = \frac{2}{b}\cdot\frac{1}{a+b\operatorname{tg}\theta}\cdot b\operatorname{sec}^{2}\theta = \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{a+b\operatorname{tg}\theta},
que é exatamente a integranda original, então está correto.

Resposta

\dfrac{2}{b}\ln\bigl|a+b\operatorname{tg}\theta\bigr|+C

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