Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x
Passo 1
O enunciado dá a integral
e pede para calculá‑la usando o Método da Substituição. Informações relevantes: o numerador é
, o denominador é
; note que
então
(sempre positivo), o que evita problemas de divisão por zero no denominador.
Passo 2
Explicação didática do Método da Substituição (aula curta): a ideia é trocar a variável
por uma nova variável
que simplifique a integral. Se escolhermos
e
, então podemos reescrever integrais do tipo
como
, que normalmente é mais fácil. Aqui:
-
é uma nova variável definida em função de ; -
representa a diferencial de e satisfaz .
Exemplo simples: para, tomar dá e a integral vira .
Passo 3
Escolha da substituição para este caso: observe o padrão da integral
. O denominador é uma expressão do tipo
e o numerador é
, que é (à parte do sinal) a derivada de
. Uma escolha natural é definir
igual ao que está dentro do denominador, isto é
Motivação: assim a diferencial
ficará relacionada a
, permitindo cancelar o numerador.
Passo 4
Calcule
em função de
. Diferenciando
em relação a
obtemos
Isolando
temos
Passo 5
Substitua na integral original usando
e
. A integral
fica, trocando
por
e
por
,
Passo 6
Integre a expressão em
. Sabemos que
pois a derivada de
é
. Logo
Passo 7
Volte à variável original
substituindo
. Assim a primitiva é
Como observado no Passo 1,
varia em
e é sempre positivo, então o valor absoluto pode ser removido sem alterar a primitiva (apenas muda a constante se quisermos), obtendo
Passo 8
Verificação rápida por diferenciação (confirmação para a prova): derive
. Usando a regra da cadeia,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.
Passo 9
Comentário final e incentivo: o truque é reconhecer que o denominador contém
e o numerador é
, que é a derivada de
. Sempre que vir esse padrão, pense em
(a expressão do denominador ou do “interior”) — é um atalho que salva tempo na prova. Vai dar certo, respira e confia no padrão!
Resposta
-\ln(3-\sin x)+C