Calcule as integrais a seguir usando o Método da Substituição:
\int \frac{\cos x}{3-\operatorname{sen} x} d x

Passo 1

O enunciado dá a integral
\int \frac{\cos x}{3-\sin x}\,dx
e pede para calculá‑la usando o Método da Substituição. Informações relevantes: o numerador é \cos x, o denominador é 3-\sin x; note que \sin x\in[-1,1] então 3-\sin x\in[2,4] (sempre positivo), o que evita problemas de divisão por zero no denominador.

Passo 2

Explicação didática do Método da Substituição (aula curta): a ideia é trocar a variável x por uma nova variável u que simplifique a integral. Se escolhermos u=g(x) e du=g'(x)\,dx, então podemos reescrever integrais do tipo \int f(g(x))\,g'(x)\,dx como \int f(u)\,du, que normalmente é mais fácil. Aqui:
  • u é uma nova variável definida em função de x;
  • du representa a diferencial de u e satisfaz du=g'(x)\,dx.
    Exemplo simples: para \int 2x\,(x^2+1)^{-1}\,dx, tomar u=x^2+1 du=2x\,dx e a integral vira \int u^{-1}\,du=\ln|u|+C.

Passo 3

Escolha da substituição para este caso: observe o padrão da integral \frac{\cos x}{3-\sin x}. O denominador é uma expressão do tipo 3-\sin x e o numerador é \cos x, que é (à parte do sinal) a derivada de \sin x. Uma escolha natural é definir u igual ao que está dentro do denominador, isto é
u = 3 - \sin x.
Motivação: assim a diferencial du ficará relacionada a \cos x\,dx, permitindo cancelar o numerador.

Passo 4

Calcule du em função de dx. Diferenciando u=3-\sin x em relação a x obtemos
du = -\cos x\,dx.
Isolando \cos x\,dx temos
\cos x\,dx = -\,du.

Passo 5

Substitua na integral original usando u e du. A integral
\int \frac{\cos x}{3-\sin x}\,dx
fica, trocando \cos x\,dx por -du e 3-\sin x por u,
\int \frac{\cos x}{3-\sin x}\,dx = \int \frac{-\,du}{u} = -\int \frac{du}{u}.

Passo 6

Integre a expressão em u. Sabemos que
\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C,
pois a derivada de \ln|u| é 1/u. Logo
- \int \frac{du}{u} = -\ln|u| + C.

Passo 7

Volte à variável original x substituindo u=3-\sin x. Assim a primitiva é
-\ln|3-\sin x| + C.
Como observado no Passo 1, 3-\sin x varia em [2,4] e é sempre positivo, então o valor absoluto pode ser removido sem alterar a primitiva (apenas muda a constante se quisermos), obtendo
-\ln(3-\sin x) + C.

Passo 8

Verificação rápida por diferenciação (confirmação para a prova): derive F(x)=-\ln(3-\sin x). Usando a regra da cadeia,
F'(x) = -\frac{1}{3-\sin x}\cdot\bigl(-\cos x\bigr) = \frac{\cos x}{3-\sin x},
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Passo 9

Comentário final e incentivo: o truque é reconhecer que o denominador contém \sin x e o numerador é \cos x, que é a derivada de \sin x. Sempre que vir esse padrão, pense em u= (a expressão do denominador ou do “interior”) — é um atalho que salva tempo na prova. Vai dar certo, respira e confia no padrão!

Resposta

-\ln(3-\sin x)+C

Exercícios relacionados