Calcule as integrais a seguir usando a substituição trigonométrica adequada:
\int \frac{d x}{\sqrt{9-16 x^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\sqrt{9-16x^{2}}}.
Informações dadas importantes:
  • O integrando tem uma raiz do tipo \sqrt{9-16x^{2}}.
  • O radicando precisa ser não negativo para a expressão real: 9-16x^{2}\ge 0, ou seja |x|\le \tfrac{3}{4}.
  • Não há condições adicionais; queremos uma primitiva (familia de antiderivadas) com constante de integração C.

Passo 2

Ideia da substituição trigonométrica (explicação didática): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{a^{2}-u^{2}}, uma escolha padrão muito útil é fazer u=a\sin\theta. Por quê? Porque
1-\sin^{2}\theta=\cos^{2}\theta,
então a raiz se simplifica para a\cos\theta, eliminando a raiz. Aqui o termo que joga o papel de u é 4x (pois 9-16x^{2}=9-(4x)^{2}) e a=3. Portanto a substituição natural é
4x = 3\sin\theta \quad\text{o que é equivalente a}\quad x=\frac{3}{4}\sin\theta.é
Essa escolha transforma a raiz em algo com \cos\theta, que costuma cancelar com o dx após calcularmos dx.

Passo 3

Faço a substituição explicitamente e calculo dx e a raiz:
x=\frac{3}{4}\sin\theta \quad\Rightarrow\quad dx=\frac{3}{4}\cos\theta\,d\theta.
Agora a raiz:
\sqrt{9-16x^{2}}=\sqrt{9-(4x)^{2}}=\sqrt{9-9\sin^{2}\theta}= \sqrt{9(1-\sin^{2}\theta)}=3\sqrt{\cos^{2}\theta}=3\lvert\cos\theta\rvert.
No intervalo principal de \theta usado para a substituição (normalmente -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}), temos \cos\theta\ge0, então \lvert\cos\theta\rvert=\cos\theta. Assim usamos 3\cos\theta.

Passo 4

Substituo tudo na integral:
\int \frac{dx}{\sqrt{9-16x^{2}}} = \int \frac{\frac{3}{4}\cos\theta\,d\theta}{3\cos\theta} = \int \frac{1}{4}\,d\theta = \frac{1}{4}\theta + C,
onde C é a constante de integração. Note que as \cos\theta se cancelaram direitinho, deixando uma integral trivial de d\theta.

Passo 5

Volto para a variável x. Da substituição temos
\sin\theta=\frac{4x}{3},
logo
\theta=\arcsin\!\left(\frac{4x}{3}\right).
Portanto a primitiva é
\frac{1}{4}\arcsin\!\left(\frac{4x}{3}\right)+C,
válida para |x|\le \tfrac{3}{4} (domínio onde a raiz é real e \arcsin recebe argumento entre -1 e 1).

Passo 6

Verificação rápida (derivação para conferir): seja F(x)=\tfrac{1}{4}\arcsin\!\left(\tfrac{4x}{3}\right). Então
F'(x)=\frac{1}{4}\cdot\frac{\frac{4}{3}}{\sqrt{1-(\frac{4x}{3})^{2}}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\sqrt{1-\frac{16x^{2}}{9}}} =\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{\frac{\sqrt{9-16x^{2}}}{3}} =\frac{1}{\sqrt{9-16x^{2}}},
que coincide com o integrando. Tudo certo!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}\arcsin\!\left(\frac{4x}{3}\right)+C

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