Calcule as integrais a seguir usando a substituição trigonométrica adequada:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas importantes:
- O integrando tem uma raiz do tipo
. - O radicando precisa ser não negativo para a expressão real:
, ou seja . - Não há condições adicionais; queremos uma primitiva (familia de antiderivadas) com constante de integração
.
Passo 2
Ideia da substituição trigonométrica (explicação didática): quando aparece uma raiz do tipo
, uma escolha padrão muito útil é fazer
. Por quê? Porque
então a raiz se simplifica para
, eliminando a raiz. Aqui o termo que joga o papel de
é
(pois
) e
. Portanto a substituição natural é
Essa escolha transforma a raiz em algo com
, que costuma cancelar com o
após calcularmos
.
Passo 3
Faço a substituição explicitamente e calculo
e a raiz:
Agora a raiz:
No intervalo principal de
usado para a substituição (normalmente
), temos
, então
. Assim usamos
.
Passo 4
Substituo tudo na integral:
onde
é a constante de integração. Note que as
se cancelaram direitinho, deixando uma integral trivial de
.
Passo 5
Volto para a variável
. Da substituição temos
logo
Portanto a primitiva é
válida para
(domínio onde a raiz é real e
recebe argumento entre
e
).
Passo 6
Verificação rápida (derivação para conferir): seja
. Então
que coincide com o integrando. Tudo certo!