Questão 18

Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é \ln \left(x^{2}+x-2\right)+\operatorname{sen}^{2}(2 y-1). Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. 4 x^{2} \operatorname{sen}(2 y-1) \cos (2 y-1)+\operatorname{sen}^{3}(y+1)
\bigcirc b. 4 x^{2} \operatorname{sen}(2 y+2) \cos (2 y+2)
\bigcirc c. 4 \operatorname{sen}(2 y-2) \cos (2 y-2)+\cos (y-2)
\bigcirc d. 24 x \backslash, \backslash textnormal \{ sen \}(2 y-1) \backslash textnormal \{ cos \},(2 y-1)+\backslash textnormal \{ cos \},(y-2).
\bigcirc e. 4 x \operatorname{sen}(2 y+2) \cos (2 y+2)+\operatorname{sen}^{3}(y+1)
\bigcirc f. 4 x \operatorname{sen}(2 y-2) \cos (2 y-2)+\cos (y-2)

Passo 1

O enunciado dá que a função F(x,y) é contínua e que a sua derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+x-2\bigr)+\operatorname{sen}^{2}(2y-1).
A pergunta é: qual das alternativas apresentadas pode ser a derivada parcial de F em relação a y, ou seja, qual opção pode ser \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y).
Informações relevantes listadas:
  • Temos \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+x-2\bigr)+\operatorname{sen}^{2}(2y-1).
  • Queremos encontrar uma função G(x,y) dentre as opções tal que G(x,y)=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) seja compatível com a informação dada.
  • Para que G seja realmente \dfrac{\partial F}{\partial y} de uma mesma F, deve valer a igualdade das derivadas mistas apropriadas: \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right)=\dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\right).

Passo 2

Explicação do princípio que vamos usar (de forma didática): se F é suficientemente suave (o que se assume aqui para funções com derivadas parciais usuais), então as derivadas parciais mistas são iguais — isto é, podemos trocar a ordem das diferenciações. Em notação,
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)=\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Isto significa que, conhecendo \dfrac{\partial F}{\partial x}, podemos calcular seu derivado em y e obter um valor que deve coincidir com o derivado em x da candidata \dfrac{\partial F}{\partial y}. Esse é o teste de compatibilidade que usamos para escolher a alternativa correta.

Passo 3

Vamos calcular a derivada de \dfrac{\partial F}{\partial x} em relação a y. Partimos de
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\ln\bigl(x^{2}+x-2\bigr)+\operatorname{sen}^{2}(2y-1).
A primeira parcela \ln\bigl(x^{2}+x-2\bigr) não depende de y, logo sua derivada em y é zero. Resta derivar \operatorname{sen}^{2}(2y-1) em relação a y. Usamos a regra da cadeia: se h(y)=\operatorname{sen}^{2}(u(y)) então
h'(y)=2\operatorname{sen}(u(y))\cos(u(y))\cdot u'(y).
Aqui u(y)=2y-1 e u'(y)=2. Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\operatorname{sen}^{2}(2y-1)\right)=2\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)\cdot 2=4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1).
Concluímos que
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)(x,y)=4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1).

Passo 4

Pela igualdade das mistas, essa quantidade deve ser igual a \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial y}\right)(x,y). Em símbolos,
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)(x,y)=4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1).
Isso é uma equação diferencial parcial simples em relação a x: a derivada de \dfrac{\partial F}{\partial y} em x é uma função que depende só de y. Para obter \dfrac{\partial F}{\partial y}, integramos em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=\int 4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)\,dx = 4x\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)+H(y),
onde H(y) é a “constante” de integração em relação a x, que pode depender de y. Aqui expliquei: ao integrar em x, tudo que é função somente de y sai como constante multiplicativo, e a indefinição da primitiva é uma função de y.

Passo 5

Interpretando o resultado: a forma geral de \dfrac{\partial F}{\partial y} que é compatível com a informação dada é
\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=4x\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)+H(y),
ou seja, deve ter um termo linear em x com coeficiente 4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1), mais uma função arbitrária apenas de y.
Agora comparamos essa forma com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com essa estrutura é a que tem exatamente o termo 4x\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1) mais alguma função só de y. As outras alternativas falham por um dos seguintes motivos:
  • têm coeficiente em x proporcional a x^{2} (logo a derivada em x daria dependência em x, o que não bate com o lado direito que é independente de x);
  • têm argumento trigonométrico deslocado (por exemplo 2y+2 ou 2y-2 em vez de 2y-1), o que não coincide com o coeficiente exigido 4\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1);
  • não têm termo em x (derivada em x seria zero), o que também é incompatível.
A alternativa que apresenta o termo com o argumento correto 2y-1 e o formato 4x\cdot(\text{coisa de }y)+\text{função só de }yçãó é a alternativa (d) — que, interpretando os símbolos (que aparecem com formatação confusa no enunciado), corresponde a
4x\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)+\cos(y-2),
ou seja, exatamente a forma 4x\operatorname{sen}(2y-1)\cos(2y-1)+H(y) com H(y)=\cos(y-2).

Resposta

(d)

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