Questão 18
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Seja
uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a
é
. Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
com respeito a
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
textnormal
sen
textnormal
cos
textnormal
cos
.
e.
f.
Vale 1,00 ponto(s).
Passo 1
O enunciado dá que a função
é contínua e que a sua derivada parcial em relação a
é
A pergunta é: qual das alternativas apresentadas pode ser a derivada parcial de
em relação a
, ou seja, qual opção pode ser
.
Informações relevantes listadas:
- Temos
. - Queremos encontrar uma função
dentre as opções tal que seja compatível com a informação dada. - Para que
seja realmente de uma mesma , deve valer a igualdade das derivadas mistas apropriadas: .
Passo 2
Explicação do princípio que vamos usar (de forma didática): se
é suficientemente suave (o que se assume aqui para funções com derivadas parciais usuais), então as derivadas parciais mistas são iguais — isto é, podemos trocar a ordem das diferenciações. Em notação,
Isto significa que, conhecendo
, podemos calcular seu derivado em
e obter um valor que deve coincidir com o derivado em
da candidata
. Esse é o teste de compatibilidade que usamos para escolher a alternativa correta.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
em relação a
. Partimos de
A primeira parcela
não depende de
, logo sua derivada em
é zero. Resta derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia: se
então
Aqui
e
. Portanto
Concluímos que
Passo 4
Pela igualdade das mistas, essa quantidade deve ser igual a
. Em símbolos,
Isso é uma equação diferencial parcial simples em relação a
: a derivada de
em
é uma função que depende só de
. Para obter
, integramos em relação a
:
onde
é a “constante” de integração em relação a
, que pode depender de
. Aqui expliquei: ao integrar em
, tudo que é função somente de
sai como constante multiplicativo, e a indefinição da primitiva é uma função de
.
Passo 5
Interpretando o resultado: a forma geral de
que é compatível com a informação dada é
ou seja, deve ter um termo linear em
com coeficiente
, mais uma função arbitrária apenas de
.
Agora comparamos essa forma com as alternativas dadas. A alternativa que coincide com essa estrutura é a que tem exatamente o termo
mais alguma função só de
. As outras alternativas falham por um dos seguintes motivos:
- têm coeficiente em
proporcional a (logo a derivada em daria dependência em , o que não bate com o lado direito que é independente de ); - têm argumento trigonométrico deslocado (por exemplo
ou em vez de ), o que não coincide com o coeficiente exigido ; - não têm termo em
(derivada em seria zero), o que também é incompatível.
A alternativa que apresenta o termo com o argumento correto
e o formato
é a alternativa (d) — que, interpretando os símbolos (que aparecem com formatação confusa no enunciado), corresponde a
ou seja, exatamente a forma
com
.
Resposta
(d)