Questão 17

Não respondido
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Nesta questão, \exp (x) denota a função exponencial e^{x}. Seja F(x, y) uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a x é \exp \left(2 x^{2}+x+1\right) \exp \left(4 x^{2}+2 x+2\right)+\cos \left(y^{2}-1\right).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de F com respeito a y ?
Escolha uma opção:
\bigcirc a. -2 x y \operatorname{sen}\left(y^{2}-1\right)+\operatorname{tg}(2 y-1)
\bigcirc b. -2 x y \operatorname{sen}\left(y^{2}+2\right)+\operatorname{tg}(2 y-1)
\bigcirc c. -2 y \operatorname{sen}\left(y^{2}-1\right)+\exp (1-y)
\bigcirc d. -2 y \operatorname{sen}\left(y^{2}+1\right)+\operatorname{tg}(2 y-1)
\bigcirc e. -2 x y \operatorname{sen}\left(y^{2}+1\right)+\exp (1-y)
\bigcirc f. -2 y \operatorname{sen}\left(y^{2}+2\right)+\operatorname{tg}(2 y-1)

Passo 1

O enunciado dá que a função F(x,y) é contínua e que a sua primeira derivada parcial em relação a x é
\frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=\exp\!\bigl(2x^{2}+x+1\bigr)\,\exp\!\bigl(4x^{2}+2x+2\bigr)+\cos\!\bigl(y^{2}-1\bigr).
A pergunta é: qual das funções listadas pode ser a primeira derivada parcial \dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y)?
As opções são as letras (a) a (f) do enunciado; devemos identificar qual delas é compatível com a informação dada.

Passo 2

Condição de compatibilidade fundamental (explicada de forma simples): se F é suficientemente suave (tem segundas derivadas parciais contínuas), então as derivadas parciais mistas são iguais:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = \frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Isto significa que, para uma função candidata g(x,y) ser a \dfrac{\partial F}{\partial y}, deve ocorrer
\frac{\partial}{\partial x}g(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right).
Vamos usar essa igualdade como teste de compatibilidade. (Na prática, é o jeito padrão de verificar se duas funções podem ser derivadas parciais de uma mesma F.)

Passo 3

Calculemos \dfrac{\partial}{\partial y}\!\left(\dfrac{\partial F}{\partial x}\right). Primeiro simplifico a parte exponencial (produto de exponenciais é exponencial da soma):
\exp\!\bigl(2x^{2}+x+1\bigr)\,\exp\!\bigl(4x^{2}+2x+2\bigr) = \exp\!\bigl(6x^{2}+3x+3\bigr),
essa expressão depende só de x, então sua derivada em relação a y é 0. Agora derivamos a segunda parcela \cos\!\bigl(y^{2}-1\bigr) em relação a y usando a regra da cadeia:
  • A derivada de \cos(u) em relação a u é -\sin(u).
  • Aqui u(y)=y^{2}-1 tem derivada u'(y)=2y.
    Portanto
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\cos\!\bigl(y^{2}-1\bigr)\right) = -\sin\!\bigl(y^{2}-1\bigr)\cdot 2y = -2y\sin\!\bigl(y^{2}-1\bigr).
Conclusão:
\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right) = -2y\sin\!\bigl(y^{2}-1\bigr).

Passo 4

Pelo passo anterior, qualquer candidato g(x,y)=\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y) deve satisfazer
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y) = -2y\sin\!\bigl(y^{2}-1\bigr).
Agora integramos essa igualdade em relação a x (tratando y como constante), para obter g. A integral de -2y\sin(y^{2}-1) em relação a x é simplesmente essa expressão vezes x, mais uma “constante” de integração que pode depender de y. Ou seja,
g(x,y) = -2x y \sin\!\bigl(y^{2}-1\bigr) + h(y),
onde h(y) é alguma função arbitrária que depende só de y. Em palavras: qualquer \dfrac{\partial F}{\partial y} compatível deve ter a forma -2xy\sin(y^{2}-1)+ (algo que dependa só de y).

Passo 5

Agora comparo essa forma geral com as opções dadas:
  • (a) -2 x y \operatorname{sen}\!\left(y^{2}-1\right)+\operatorname{tg}(2 y-1). Aqui a parte que depende de x é exatamente -2xy\sin(y^{2}-1) (escrita com \operatorname{sen} no enunciado) e a parte restante \operatorname{tg}(2y-1) depende apenas de y. Portanto (a) tem a forma exigida com h(y)=\operatorname{tg}(2y-1).
  • (b) contém -2xy\operatorname{sen}\!\left(y^{2}+2\right): o argumento do seno é diferente ( y^{2}+2 em vez de y^{2}-1), então não bate com o termo necessário -2xy\sin(y^{2}-1).
  • (c) tem -2y\operatorname{sen}\!\left(y^{2}-1\right) (sem o fator x), portanto não tem a forma -2xy\sin(\cdot)+h(y).
  • (d), (e), (f) ou têm o argumento do seno errado ( y^{2}+1 ou y^{2}+2) ou faltam o fator x. Assim nenhuma delas satisfaz a forma exigida.
Portanto a única opção compatível é a (a).

Resposta

a. -2 x y \operatorname{sen}\left(y^{2}-1\right)+\operatorname{tg}(2 y-1)

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