Questão 17
Não respondido
Vale 1,00 ponto(s).
Nesta questão,
denota a função exponencial
. Seja
uma função contínua cuja primeira derivada parcial com respeito a
é
.
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
com respeito a
?
Escolha uma opção:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Vale 1,00 ponto(s).
Qual das seguintes funções é a única que pode ser a primeira derivada parcial de
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado dá que a função
é contínua e que a sua primeira derivada parcial em relação a
é
A pergunta é: qual das funções listadas pode ser a primeira derivada parcial
?
As opções são as letras (a) a (f) do enunciado; devemos identificar qual delas é compatível com a informação dada.
As opções são as letras (a) a (f) do enunciado; devemos identificar qual delas é compatível com a informação dada.
Passo 2
Condição de compatibilidade fundamental (explicada de forma simples): se
é suficientemente suave (tem segundas derivadas parciais contínuas), então as derivadas parciais mistas são iguais:
Isto significa que, para uma função candidata
ser a
, deve ocorrer
Vamos usar essa igualdade como teste de compatibilidade. (Na prática, é o jeito padrão de verificar se duas funções podem ser derivadas parciais de uma mesma
.)
Passo 3
Calculemos
. Primeiro simplifico a parte exponencial (produto de exponenciais é exponencial da soma):
essa expressão depende só de
, então sua derivada em relação a
é
. Agora derivamos a segunda parcela
em relação a
usando a regra da cadeia:
- A derivada de
em relação a é . - Aqui
tem derivada .
Portanto
Conclusão:
Passo 4
Pelo passo anterior, qualquer candidato
deve satisfazer
Agora integramos essa igualdade em relação a
(tratando
como constante), para obter
. A integral de
em relação a
é simplesmente essa expressão vezes
, mais uma “constante” de integração que pode depender de
. Ou seja,
onde
é alguma função arbitrária que depende só de
. Em palavras: qualquer
compatível deve ter a forma
(algo que dependa só de
).
Passo 5
Agora comparo essa forma geral com as opções dadas:
- (a)
. Aqui a parte que depende de é exatamente (escrita com no enunciado) e a parte restante depende apenas de . Portanto (a) tem a forma exigida com . - (b) contém
: o argumento do seno é diferente ( em vez de ), então não bate com o termo necessário . - (c) tem
(sem o fator ), portanto não tem a forma . - (d), (e), (f) ou têm o argumento do seno errado (
ou ) ou faltam o fator . Assim nenhuma delas satisfaz a forma exigida.
Portanto a única opção compatível é a (a).
Resposta
a.