Calcule as integrais a seguir usando substituições trigonométricas:
integral 1t^4 raiz1-t^2 d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 1t^4raiz1-t^2,dt
usando substituição trigonométrica. Aqui o conteúdo principal é lidar com expressões da forma raiz1-t^2, então vamos usar a substituição
t = sintheta,
pois isso transforma raiz1-t^2 em costheta.

Passo 2

Fazendo t=sintheta temos
dt = costheta,dtheta,
raiz1-t^2 = raiz1-sin^2theta = costheta
Substituindo na integral original:
integral 1t^4raiz1-t^2,dt = integral 1sin^4theta;costheta;(costheta,dtheta) = integral 1sin^4theta,dtheta = integral csc^4theta,dtheta

Passo 3

Para integrar integral csc^4theta,dtheta, usamos a identidade
csc^2theta = 1 + cot^2theta,
de modo que
csc^4theta = csc^2theta;csc^2theta = (1+cot^2theta),csc^2theta
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integral csc^4theta,dtheta = integral (1+cot^2theta),csc^2theta,dtheta

Passo 4

Fazemos a substituição u = cottheta, então
du = -csc^2theta,dtheta Longrightarrow -!du = csc^2theta,dtheta
A integral fica
integral (1+u^2),(-du) = -integral (1+u^2),du = -l(u + tfracu^33r) + C = -cottheta - cot^3theta3 + C

Passo 5

Substituímos de volta cottheta = costhetasintheta e usamos sintheta = t, costheta = raiz1-t^2. Assim
cottheta = raiz1-t^2t, cot^3theta = (1-t^2)^3/2t^3,
e a primitiva final é
-raiz1-t^2t ;-;13,(1-t^2)^3/2t^3 + C

Resposta

integral 1t^4raiz1-t^2,dt = -raiz1-t^2t -13,(1-t^2)^3/2t^3 + C

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