Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
f(x)=e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=e^2x. Vamos usar a definição de série de Maclaurin, que afirma que toda função suficientemente suave em torno de zero pode ser escrita como
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(0)n!,x^n

Passo 2

Calculamos as derivadas de f. Como
f(x)=e^2x,
temos
f'(x)=2e^2x, f''(x)=2^2 e^2x, dots, f^(n)(x)=2^n e^2x
Em particular, em x=0:
f^(n)(0)=2^n e^0=2^n

Passo 3

Substituímos f^(n)(0) na definição da série:
f(x)=sumn=0^infty2^nn!,x^n =sumn=0^infty(2x)^nn!
Note que este é o desenvolvimento clássico de e^2x.

Passo 4

Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em
an=(2x)^nn!:
limntoinftyg|an+1ang| =limntoinfty|2x|n+1=0<1
para todo x. Logo, a série converge para todo xinR.

Resposta

f(x)=e^2x=sumn=0^infty2^nn!,x^n, xin(-infty,infty)

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