Use a definição para determinar as séries de Maclaurin das funções abaixo fornecendo seus intervalos de convergência:
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de . Vamos usar a definição de série de Maclaurin, que afirma que toda função suficientemente suave em torno de zero pode ser escrita como
Passo 2
Calculamos as derivadas de . Como
temos
Em particular, em :
Passo 3
Substituímos na definição da série:
Note que este é o desenvolvimento clássico de .
Passo 4
Para determinar o intervalo de convergência, aplicamos o teste da razão em
para todo x. Logo, a série converge para todo xinR.