Uma chapa plana de metal está situada em um plano x y, de modo que a temperatura T(e m ^circ C) no ponto ( x, y ) é inversamente proporcional à distância da origem.
a) Descreva as isotermas (isotermas são curvas de nível da função temperatura).
b) Se a temperatura no ponto (4,3) é de 40^circ C, ache a equação da isoterma para a temperatura de 20^circ C.

Passo 1

O enunciado trata de uma função de duas variáveis T(x,y) que mede a temperatura num ponto (x,y) e é inversamente proporcional à distância desse ponto à origem. Vamos usar o conceito de curva de nível (isoterma), que são as curvas definidas por T(x,y)=constante.

Passo 2

Como T é inversamente proporcional à distância r=raizx^2+y^2, existe uma constante k>0 tal que
T(x,y)=kraizx^2+y^2

Passo 3

Para qualquer temperatura fixa C>0, a isoterma T(x,y)=C satisfaz
kraizx^2+y^2=C Longrightarrow raizx^2+y^2=kC Longrightarrow x^2+y^2=gl(kCgr)^2
Logo, cada isoterma é um círculo de centro (0,0) e raio tfrackC.

Passo 4

Usando o dado ;T(4,3)=40, temos raiz4^2+3^2=5, então
40 = k5 Longrightarrow k = 40 times 5 = 200

Passo 5

Para a isoterma de 20^circC ( C=20), o raio é
raizx^2+y^2 = k20 = 20020 = 10 Longrightarrow x^2+y^2 = 10^2 = 100

Resposta

A equação da isoterma de 20^circC é
x^2 + y^2 = 100

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