Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
b) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\operatorname{sen}(x)} \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\operatorname{sen}(x)}\cos(x)\,dx
usando a técnica de substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \operatorname{sen}(x), \quad du = \cos(x)\,dx.

Passo 3

Quando x=0, temos u=\operatorname{sen}(0)=0.
Quando x=\tfrac{\pi}{2}, temos u=\operatorname{sen}(\tfrac{\pi}{2})=1.
Logo, a integral em x transforma-se em
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} e^{\sin(x)}\cos(x)\,dx = \int_{0}^{1} e^{u}\,du.

Passo 4

Calculando a integral em u:
\int_{0}^{1} e^{u}\,du = e^{u}\Big|_{0}^{1} = e^{1} - e^{0} = e - 1.

Resposta

e - 1

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