Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
a) \int_{-\frac{1}{2}}^{-\frac{1}{2}+\frac{\pi}{4}} \cos (1+2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int_{-\tfrac12}^{-\tfrac12+\tfrac\pi4} \cos(1+2x)\,dx
usando a regra da substituição. Vamos definir uma nova variável u para simplificar o integrando.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + 2x,
temos
du = 2\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Agora atualizamos os limites de integração. Quando x = -\tfrac12,
u = 1 + 2\Bigl(-\tfrac12\Bigr) = 0.
Quando x = -\tfrac12 + \tfrac\pi4,
u = 1 + 2\Bigl(-\tfrac12 + \tfrac\pi4\Bigr) = \pi/2.
Logo a integral vira
\int_{-\tfrac12}^{-\tfrac12+\tfrac\pi4}\cos(1+2x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2}\cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac12 \int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du.

Passo 4

Basta agora integrar \cos u:
\frac12 \int_{0}^{\pi/2}\cos u\,du = \frac12 \bigl[\sin u\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac12\bigl(\sin(\pi/2)-\sin(0)\bigr) = \frac12(1-0) = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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