Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
c) \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(x) \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,dx
usando a técnica de substituição. Vamos reconhecer uma parte da integral como u de modo a simplificar a expressão e depois ajustar os limites de integração.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{sen}(x),
de onde
du = \cos(x)\,dx.
Precisamos também mudar os limites de x para os de u:
quando x = \frac{\pi}{2}, tem-se u = \operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr) = 1;
quando x = \pi, tem-se u = \operatorname{sen}(\pi) = 0.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \operatorname{sen}(x)\,\cos(x)\,dx = \int_{1}^{0} u\,du.
Agora integramos em u:
\int u\,du = \frac{u^2}{2}.

Passo 4

Basta avaliar de u=1 até u=0:
\frac{u^2}{2}\Bigg|_{1}^{0} = \frac{0^2}{2} - \frac{1^2}{2} = -\frac{1}{2}.

Resposta

-\tfrac{1}{2}

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