Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
d) \int_{0}^{2 \pi} \operatorname{sen}^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2\pi} \operatorname{sen}^2(x)\,dx
usando a regra da substituição. Aqui vamos usar a identidade trigonométrica que transforma \operatorname{sen}^2(x) em termos de \cos(2x), e em seguida aplicar mudança de variável para a parte com \cos(2x).

Passo 2

Aplicamos a identidade
\operatorname{sen}^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2}
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\int_{0}^{2\pi} \operatorname{sen}^2(x)\,dx = \int_{0}^{2\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} 1\,dx \;-\;\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \cos(2x)\,dx.

Passo 3

A primeira integral é direta:
\int_{0}^{2\pi} 1\,dx = x\Big|_{0}^{2\pi} = 2\pi.
Para a segunda, fazemos a substituição \;u = 2x, de modo que \,du = 2\,dx ou \,dx = \tfrac{du}{2}. Quando x=0, u=0; quando x=2\pi, u=4\pi.

Passo 4

Substituindo em \int_{0}^{2\pi}\cos(2x)\,dx:
\int_{0}^{2\pi}\cos(2x)\,dx = \int_{0}^{4\pi} \cos(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4\pi}\cos(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[\operatorname{sen}(u)\bigr]_{0}^{4\pi} = \frac{1}{2}\bigl(\operatorname{sen}(4\pi)-\operatorname{sen}(0)\bigr) = 0.
Voltando à expressão completa:
\frac{1}{2}\cdot 2\pi \;-\; \frac{1}{2}\cdot 0 = \pi.

Resposta

\displaystyle \pi

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