Por meio das propriedades, calcule as seguintes integrais diretas:
f) \quad \int_{-2}^{\pi} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{c}2 x+e^{x}, \text { se }-2 \leq x<0 \\\ \text { sen } x, \text { se } 0 \leq x \leq \pi\end{array}\right.$

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int_{-2}^{\pi}f(x)\,dx
onde
f(x)= \begin{cases} 2x+e^x, & -2\le x<0,\\\ \sin x, & 0\le x\le \pi. \end{cases}
Vamos usar as propriedades de linearidade e aditividade da integral.

Passo 2

Pela aditividade,
\int_{-2}^{\pi}f(x)\,dx =\int_{-2}^{0}(2x+e^x)\,dx +\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx.

Passo 3

Para \displaystyle\int_{-2}^{0}(2x+e^x)\,dx, uma primitiva é x^2+e^x. Então
\int_{-2}^{0}(2x+e^x)\,dx =\bigl[x^2+e^x\bigr]_{-2}^{0} =(0^2+e^0)-\bigl((-2)^2+e^{-2}\bigr) =1-(4+e^{-2}) =-3-e^{-2}.

Passo 4

Para \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx, a primitiva é -\cos x. Portanto
\int_{0}^{\pi}\sin x\,dx =[-\cos x]_{0}^{\pi} =\bigl(-\cos\pi\bigr)-\bigl(-\cos0\bigr) =1+1 =2.

Passo 5

Somando os resultados:
\int_{-2}^{\pi}f(x)\,dx =(-3-e^{-2})+2 =-1-e^{-2}.

Resposta

-1 - e^{-2}

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