Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
e) \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{3}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}(x)\,dx
usando a regra da substituição. Vamos usar a identidade de potências de seno e depois aplicar a substituição para resolver.

Passo 2

Reescrevemos \sin^{3}(x) como produto de \sin(x) e \sin^{2}(x), e em seguida usamos \sin^{2}(x)=1-\cos^{2}(x). Assim:
\sin^{3}(x)=\sin(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr).
Substituindo na integral,
\int_{0}^{\pi}\sin^{3}(x)\,dx =\int_{0}^{\pi}\sin(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição u=\cos(x), logo du=-\sin(x)\,dx e \sin(x)\,dx=-du. Quando x=0, u=\cos(0)=1; quando x=\pi, u=\cos(\pi)=-1. A integral passa a ser
\int_{0}^{\pi}\sin(x)\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr)\,dx =\int_{u=1}^{u=-1}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,(-du) =\int_{u=-1}^{u=1}\bigl(1-u^{2}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora integramos em relação a u:
\int_{-1}^{1}(1-u^{2})\,du =\left[u-\frac{u^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} =\Bigl(1-\tfrac{1}{3}\Bigr)-\Bigl(-1+\tfrac{1}{3}\Bigr) =\frac{2}{3}-\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr) =\frac{4}{3}.

Resposta

\int_{0}^{\pi}\sin^{3}(x)\,dx=\frac{4}{3}.

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