Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
f) \int_{0}^{\pi} \cos ^{4}(\mathrm{x}) \operatorname{sen}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(x)\,\sin(x)\,dx
usando a regra da substituição. O conteúdo aqui é a técnica de substituição de variáveis em integrais definidas, que envolve escolher uma nova variável u para transformar o integrando em algo mais simples e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \cos(x),
então
du = -\sin(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \sin(x)\,dx = -\,du.
Com isso, o integrando \cos^{4}(x)\,\sin(x)\,dx fica em termos de u:
\cos^{4}(x)\,\sin(x)\,dx = u^{4}(-du) = -u^{4}\,du.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando x=0, temos
u = \cos(0) = 1,
e quando x=\pi,
u = \cos(\pi) = -1.
Portanto a integral definida transforma-se em
\int_{0}^{\pi}\cos^{4}(x)\,\sin(x)\,dx = \int_{x=0}^{x=\pi} -u^{4}\,du = -\int_{u=1}^{u=-1} u^{4}\,du.

Passo 4

Invertendo os limites para simplificar o sinal, obtemos
-\int_{1}^{-1}u^{4}\,du = \int_{-1}^{1}u^{4}\,du.
Agora integramos u^{4} normalmente:
\int u^{4}\,du = \frac{u^{5}}{5}.

Passo 5

Aplicando os limites de -1 a 1:
\int_{-1}^{1}u^{4}\,du = \Bigl[\frac{u^{5}}{5}\Bigr]_{-1}^{1} = \frac{1^{5}}{5} - \frac{(-1)^{5}}{5} = \frac{1}{5} - \bigl(-\frac{1}{5}\bigr) = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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