Calcule as integrais a seguir utilizando a regra da substituição:
m) \int 3 t^{2} \sqrt{t^{3}-2} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 3\,t^{2}\sqrt{t^{3}-2}\,dt
usando a regra de substituição. Aqui o conteúdo é integração por substituição, onde identificamos uma parte interna cuja derivada aparece multiplicando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t^{3} - 2.
Derivando ambos os lados, obtemos
du = 3\,t^{2}\,dt.

Passo 3

Com isso, a integral em t vira uma integral em u:
\int 3\,t^{2}\sqrt{t^{3}-2}\,dt = \int \sqrt{u}\;du = \int u^{\tfrac12}\,du.
Agora basta integrar:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} + C.
Voltando a t, temos a resposta.

Resposta

\frac{2}{3}\,(t^{3}-2)^{\tfrac32} + C

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