Por meio das propriedades, calcule as seguintes integrais diretas:
e) \int_{0}^{2} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{l}\operatorname{sec} ^{2}(x)+e^{x}, \text { se } 0 \leq x<1 \\\ (x+1)(x+2), \text { se } 1 \leq x \leq 2\end{array}\right.$

Passo 1

O enunciado pede a integral direta de
\int_{0}^{2} f(x)\,dx
onde
f(x)= \begin{cases} \operatorname{sec}^{2}(x)+e^{x},&0\le x<1,\\\ (x+1)(x+2),&1\le x\le2. \end{cases}
O conteúdo é integração de função por partes definidas em intervalos, usando a soma de integrais e a regra do teorema fundamental do cálculo.

Passo 2

Vamos quebrar a integral em duas:
\int_{0}^{2}f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\bigl[\operatorname{sec}^{2}(x)+e^{x}\bigr]dx + \int_{1}^{2}(x+1)(x+2)\,dx.

Passo 3

Calcular a parte de 0 a 1:
a) \displaystyle\int_{0}^{1}\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx=[\tan(x)]_{0}^{1}=\tan(1)-\tan(0)=\tan(1).
b) \displaystyle\int_{0}^{1}e^{x}\,dx=[e^{x}]_{0}^{1}=e-1.
Somando,
\int_{0}^{1}\bigl[\operatorname{sec}^{2}(x)+e^{x}\bigr]dx =\tan(1)+(e-1).

Passo 4

Calcular a parte de 1 a 2:
expandindo (x+1)(x+2)=x^2+3x+2, a antiderivada é
\int(x^2+3x+2)\,dx =\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+2x.
Avalia de 1 a 2:
\biggl(\frac{2^3}{3}+\frac{3\cdot2^2}{2}+2\cdot2\biggr) - \biggl(\frac{1^3}{3}+\frac{3\cdot1^2}{2}+2\cdot1\biggr) = \frac{8}{3}+6+4-\Bigl(\frac{1}{3}+\tfrac{3}{2}+2\Bigr) =\frac{53}{6}.

Passo 5

Agora somamos as duas partes:
\tan(1)+(e-1)+\frac{53}{6} =\tan(1)+e+\Bigl(-1+\frac{53}{6}\Bigr) =\tan(1)+e+\frac{47}{6}.

Resposta

\tan(1)+e+\frac{47}{6}.

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