Calcule as integrais por substituição:
(k)
integral 1x raizx^2-1 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver usando substituição. O enunciado é:
integral 1x raizx^2-1 , dx
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para isso, vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz: . Isso sugere que uma boa substituição seria definir . Assim, simplificamos a raiz e trabalhamos com no lugar dessa expressão.

Passo 3

Com a substituição u = raizx^2 - 1 dudx = 12(x^2 - 1)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 - 1 du = xraizx^2 - 1 , dx , precisamos encontrar em termos de . Vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 4

Agora, vamos resolver du = xraizx^2 - 1 , dx dx = raizx^2 - 1x , du para expressar :

Passo 5

Vamos substituir integral 1x raizx^2-1 , dx = integral 1x cdot u cdot ux , du = integral 1x^2 , du e integral 1x^2 , du = integral 1u^2 + 1 , du na integral original:
Mas lembrando que , então . Portanto:

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral 1u^2 + 1 , du
Sabemos que a integral de integral 1u^2 + 1 , du = arctan(u) + C é , então:

Passo 7

Vamos agora voltar para a variável original arctan(u) + C = arctan(raizx^2 - 1) + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 8

Portanto, a integral original é:
integral 1x raizx^2-1 , dx = arctan(raizx^2 - 1) + C

Resposta

A solução da integral é:
arctan(raizx^2 - 1) + C

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