Calcule as integrais por substituição:
(k)
(k)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma integral para resolver usando substituição. O enunciado é:
Vamos trabalhar com cálculo integral, especificamente com a técnica de substituição (também conhecida como mudança de variável). Para isso, vamos escolher uma parte da expressão para substituir por uma variável mais simples, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a expressão dentro da raiz:
. Isso sugere que uma boa substituição seria definir
. Assim, simplificamos a raiz e trabalhamos com
no lugar dessa expressão.
Passo 3
Com a substituição
, precisamos encontrar
em termos de
. Vamos derivar ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos resolver
para expressar
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Mas lembrando que
, então
. Portanto:
Passo 6
Agora, a integral ficou mais simples:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 7
Vamos agora voltar para a variável original
. Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 8
Portanto, a integral original é:
Resposta
A solução da integral é: