Calcule as integrais por substituição:
\int e^{x} \cdot \operatorname{sen}\left(e^{x}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral por substituição da função
\int e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição (mudança de variável), que consiste em identificar uma parte da integral cuja derivada aparece multiplicando-a. Neste caso, vamos reconhecer e^{x} e sua derivada.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^{x}.
Diferenciando ambos os lados, obtemos
du = e^{x}\,dx.
Isso mostra que e^{x}\,dx é exatamente du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em termos de u, temos
\int e^{x}\,\sin\bigl(e^{x}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,du.
Agora basta integrar \sin(u).

Passo 4

A primitiva de \sin(u) é
\int \sin(u)\,du = -\cos(u) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltando à variável original x, substituímos u = e^{x} e obtemos
-\cos(u) + C = -\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C.

Resposta

-\cos\bigl(e^{x}\bigr) + C

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