Calcule as integrais por substituição:
\int_{4}^{6} \sqrt{5 x-1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{4}^{6} \sqrt{5x - 1}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo da matéria é mudança de variável em integrais definidas. Vamos precisar escolher uma substituição que simplifique a raíz \sqrt{5x-1} e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5x - 1.
Diferenciando, temos
du = 5\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{5}.
Também ajustamos os limites:
para x=4, u = 5\cdot4 - 1 = 19;
para x=6, u = 5\cdot6 - 1 = 29.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{4}^{6} \sqrt{5x - 1}\,dx = \int_{u=19}^{u=29} \sqrt{u}\;\frac{du}{5} = \frac{1}{5}\int_{19}^{29} u^{\tfrac12}\,du.

Passo 4

Agora calculamos a primitiva de u^{1/2}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}u^{\tfrac32}.
Logo,
\frac{1}{5}\int_{19}^{29} u^{\tfrac12}\,du = \frac{1}{5}\,\Bigl[\frac{2}{3}u^{\tfrac32}\Bigr]_{19}^{29} = \frac{2}{15}\Bigl[u^{\tfrac32}\Bigr]_{19}^{29} = \frac{2}{15}\bigl(29^{\tfrac32}-19^{\tfrac32}\bigr).

Resposta

\int_{4}^{6} \sqrt{5x - 1}\,dx = \frac{2}{15}\bigl(29^{\tfrac32}-19^{\tfrac32}\bigr).

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