Calcule as integrais de superfície
h) onde é a porção do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície: . Aqui, é a parte do plano que está no primeiro octante. O que isso significa é que estamos trabalhando com todas as coordenadas , e positivas que satisfazem a equação do plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície . Basicamente, vamos converter essa integral em uma integral dupla mais fácil de calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar em termos de e a partir da equação do plano:
Assim, qualquer ponto na superfície pode ser descrito por , onde e são maiores ou iguais a zero e .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área na superfície. Para isso, usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então:
Passo 4
Agora, substituímos e a expressão para na integral original:
Onde é a região no plano definida por , e .
Passo 5
Vamos colocar a integral na forma:
Para integrar sobre , podemos escolher os limites de de 0 a e de 0 a 1: