Calcule as integrais de superfície
h) integral duplaS x d S onde S é a porção do plano x+y+z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície: . Aqui, é a parte do plano que está no primeiro octante. O que isso significa é que estamos trabalhando com todas as coordenadas , e positivas que satisfazem a equação do plano.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre integrais de superfície e como parametrizar a superfície . Basicamente, vamos converter essa integral em uma integral dupla mais fácil de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar z = 1 - x - y em termos de e a partir da equação do plano:
Assim, qualquer ponto na superfície pode ser descrito por , onde e são maiores ou iguais a zero e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , y na superfície. Para isso, usamos a fórmula:
partial zpartial x = -1
Calculando as derivadas parciais:
partial zpartial y = -1
dS = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 1 , dx , dy = raiz1 + 1 + 1 , dx , dy = raiz3 , dx , dy
Então:

Passo 4

Agora, substituímos integral duplaS x , dS = integral duplaD x cdot raiz3 , dx , dy e a expressão para na integral original:
Onde é a região no plano definida por , e .

Passo 5

Vamos colocar a integral na forma:
raiz3 integral duplaD x , dx , dy
Para integrar sobre raiz3 integral0^1 integral0^1 - x x , dy , dx , podemos escolher os limites de de 0 a e de 0 a 1:

Passo 6

Primeiro, integramos em relação a integral0^1 - x x , dy = x cdot y g|0^1 - x = x(1 - x) :
raiz3 integral0^1 x(1 - x) , dx
Então, a integral se torna:

Passo 7

Agora, expandimos a expressão x - x^2 :
raiz3 integral0^1 (x - x^2) , dx
Então, a integral é:

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral (x - x^2) , dx = x^22 - x^33
Avaliado de 0 a 1:
( 1^22 - 1^33 ) - ( 0^22 - 0^33 ) = 12 - 13 = 36 - 26 = 16

Resposta

Multiplicando pelo raiz3 cdot 16 = raiz36 :
Então, a integral de superfície é .

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