Encontre a forma fechada de cada uma das séries. (Isso é, com a notação de somatório) 2 + 2/5 + 2/5^2 + 2/5^3 + ...

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série infinita: . O conteúdo que vamos usar para resolver isso é sobre séries geométricas. Precisamos entender qual é o primeiro termo da série e a razão entre os termos para aplicar a fórmula da soma.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo da série. Olhando a série, o primeiro termo é . Agora, vamos encontrar a razão da série, que é o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar no próximo. Observando os termos:
Então, a razão é .

Passo 3

Com o primeiro termo e a razão , podemos usar a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Essa fórmula funciona porque a razão é menor que 1, o que garante que a série converge para um valor finito.

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores na fórmula:

Resposta

A soma da série é .

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