Calcule as integrais de superfície
integral duplaS 15 y^2 d S onde S é a parte do parabolóide z=x^2+y^2 dada por z <= 1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de superfície
integral duplaS15,y^2,dS
onde S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 com z<=1.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar sobre superfície dada como gráfico z=g(x,y). Vamos usar a fórmula
dS=raiz1+(gx)^2+(gy)^2,dA
e depois converter para coordenadas polares, pois a projeção de S no plano xy é o disco x^2+y^2<=1.

Passo 2

Parametrizando S como gráfico
l(x,y,g(x,y)r)=l(x,y,x^2+y^2r),
temos
gx=2x, gy=2y Longrightarrow dS=raiz1+(2x)^2+(2y)^2,dA=raiz1+4(x^2+y^2),dA
Logo a integral vira
I=integral duplaD15,y^2raiz1+4(x^2+y^2),dA,
onde D=(x,y)mid x^2+y^2<=1.

Passo 3

Passando para coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. A integranda fica
15,(rsintheta)^2, raiz1+4r^2; r,dr,dtheta =15,r^3sin^2theta;raiz1+4r^2;dr,dtheta
Assim
I =15integral0^2pi!integral0^1r^3sin^2thetaraiz1+4r^2,dr,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em theta:
integral0^2pisin^2theta,dtheta =pi
pois a média de sin^2 num período é 1/2. Logo
I =15,piintegral0^1r^3raiz1+4r^2,dr

Passo 5

Para calcular
integral0^1r^3raiz1+4r^2,dr
fazemos a substituição
t=1+4r^2, dt=8r,dr ;Longrightarrow; r^3,dr=r^2(r,dr)=t-14,dt8=t-132,dt
Os limites em t vão de t(0)=1 a t(1)=5. Assim
integral0^1r^3raiz1+4r^2,dr =integral1^5t-132,t^1/2,dt =132integral1^5l(t^3/2-t^1/2r),dt

Passo 6

Calculando a integral em t:
integral t^3/2,dt=25t^5/2, integral t^1/2,dt=23t^3/2
Logo
integral1^5l(t^3/2-t^1/2r),dt =l[25t^5/2-23t^3/2r]1^5 = l( 25,25raiz5-23,5raiz5r) - l(25-23r) = 20raiz53+415
Multiplicando 1/32
integral0^1r^3raiz1+4r^2,dr =132l(20raiz53+415r) =25raiz5+1120
Finalmente
I=15picdot25raiz5+1120 =pi,25raiz5+18

Resposta

boxed,integral duplaS15,y^2,dS =pi8l(25raiz5+1r),

Exercícios relacionados