Calcule as integrais de superfície
onde
é a parte do parabolóide
dada por
.
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral de superfície
onde
é a parte do paraboloide
com
.
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar sobre superfície dada como gráfico . Vamos usar a fórmula
Conteúdo: integral de superfície de uma função escalar sobre superfície dada como gráfico
e depois converter para coordenadas polares, pois a projeção de
no plano
é o disco
.
Passo 2
Parametrizando
como gráfico
temos
Logo a integral vira
onde
.
Passo 3
Passando para coordenadas polares
com
,
. A integranda fica
Assim
Passo 4
Primeiro integramos em
:
pois a média de
num período é
. Logo
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição
fazemos a substituição
Os limites em
vão de
a
. Assim
Passo 6
Calculando a integral em
:
Logo
Multiplicando
dá
Finalmente