Calcule as integrais de superfície
integral duplaS x zy d S onde S é a porção do cilindro x=y^2, situada no primeiro octante, entre os planos z=0, z=5, x=1 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaSxzy,dS
onde S é a porção do cilindro parabólico x=y^2 no primeiro octante, limitada pelos planos z=0, z=5, x=1 e x=2. Vamos parametrizar S por variáveis convenientes e usar a fórmula
dS = l| rutimes rvr|,du,dv

Passo 2

Como x=y^2, podemos usar (y,z) como parâmetros e definir
r(y,z) = l(y^2,,y,,zr),
com y>=0, z>=0, e ainda 1<= x=y^2<=2, isto é
1<= y^2<=2Longrightarrow 1<= y<=raiz2,
e
0<= z<=5
Logo o domínio paramétrico é D=(y,z)mid 1<= y<=raiz2,;0<= z<=5.

Passo 3

Calculamos os vetores parciais
ry = l(2y,,1,,0r), rz = l(0,,0,,1r)
O produto vetorial tem norma
l| rytimes rzr| = raiz1 + (2y)^2 = raiz1+4y^2,
portanto
dS = raiz1+4y^2;dy,dz

Passo 4

Na parametrização x=y^2, o integrando fica
xzy = y^2,zy = y,z
Assim a integral sobre S vira
integral duplaSxzy,dS = integraly=1^raiz2integralz=0^5 l(y,zr),raiz1+4y^2;dz,dy

Passo 5

Integramos primeiro em z:
integral0^5 y,z,dz = y;z^22|0^5 = y;252 = 252,y
Logo a integral reduz-se a
252 integral1^raiz2 y,raiz1+4y^2;dy

Passo 6

Para calcular
I = integral y,raiz1+4y^2;dy
faço a substituição u=1+4y^2, du=8y,dy, logo y,dy = du/8. Então
I = 18integral u^1/2,du = 18cdot23u^3/2 = 112,u^3/2
Voltando a y, de y=1 a y=raiz2 temos
integral1^raiz2 y,raiz1+4y^2,dy = 112l[(1+4y^2)^3/2r]1^raiz2 = 112l[9^3/2-5^3/2r] = 112l[27-5raiz5r]
Multiplicando pelo fator tfrac252
integral duplaSxzy,dS = 252cdot112l[27-5raiz5r] = 2524l[27-5raiz5r]

Resposta

boxed2524l(27-5raiz5r)

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