Se f(x, y, z) a densidade superficial de massa no ponto (x, y, z) de uma superfície S, então o momento de inércia I de S em relação ao eixo é definida por
I=integral duplaS r^2 d m
onde o momento de massa d m=f(x, y, z) d S e r=r(x, y, z) é a distância do ponto (x, y, z) ao eixo. Além disso o centro de massa xc, yc, zc é definido por
xc=integral duplaS x f(x, y, z) d SM, yc=integral duplaS y f(x, y, z) d SM, zc=integral duplaS z f(x, y, z) d SM
com M a massa total de S. Com estas informações, determine:
O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa M, de equação z=x^2+y^2, x^2+y^2 <= r^2(r>0) em torno do eixo z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o momento de inércia e o centro de massa de uma superfície homogênea com massa total M. A superfície dada é z = x^2 + y^2, limitada por x^2 + y^2 <= r^2, e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo z. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, como momento de inércia e centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a distribuição de massa em relação a um eixo de rotação. A fórmula dada é:
I = integral duplaS r^2 , d m
onde r é a distância de um ponto na superfície ao eixo z. Como estamos calculando em relação ao eixo z, r é a distância no plano xy, ou seja, r = raizx^2 + y^2 e r^2 = x^2 + y^2.

Passo 3

A densidade superficial de massa f(x, y, z) é homogênea, então f é constante. A massa total M da superfície é:
M = integral duplaS f , dS
Como f é constante, podemos escrever f = MS, onde S é a área da superfície.

Passo 4

Vamos parametrizar a superfície S. Usando coordenadas polares no plano xy, onde x = rho costheta, y = rho sintheta, e z = rho^2. O limite é rho <= r. O elemento de área dS em coordenadas polares para a superfície paraboloide é dado por:
dS = raiz1 + (partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 , dx , dy
Calculando as derivadas:
partial zpartial x = 2x, partial zpartial y = 2y
Então:
dS = raiz1 + 4x^2 + 4y^2 , dx , dy = raiz1 + 4rho^2 , rho , drho , dtheta

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento de inércia Iz:
Iz = integral duplaS (x^2 + y^2) f , dS
Substituindo f = MS e usando coordenadas polares:
Iz = MS integral duplaS rho^2 raiz1 + 4rho^2 , rho , drho , dtheta = MS integral0^2pi integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho , dtheta

Passo 6

Calculando a integral em theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Então:
Iz = 2pi MS integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho

Passo 7

Vamos resolver a integral integral rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho. Fazendo a substituição u = 1 + 4rho^2, então du = 8rho , drho, ou drho = du8rho. Mas precisamos ajustar a integral:
rho^3 raizu , drho = rho^3 raizu cdot du8rho = rho^2 raizu8 du
Como u = 1 + 4rho^2, então rho^2 = u - 14. Substituindo:
rho^2 raizu8 du = (u - 1) raizu32 du
Agora, a integral fica:
integral (u - 1) raizu32 du = 132 integral (u^3/2 - u^1/2) du = 132 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C

Passo 8

Voltando a rho:
132 ( 25 (1 + 4rho^2)^5/2 - 23 (1 + 4rho^2)^3/2 ) g|0^r
Simplificando:
= 132 [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 - ( 25 - 23 ) ]
= 132 [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]

Passo 9

Substituindo de volta no momento de inércia:
Iz = 2pi MS cdot 132 [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]
Simplificando:
Iz = pi M16 S [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]

Passo 10

Para encontrar o centro de massa, notamos que pela simetria, xc = yc = 0. Precisamos calcular zc:
zc = 1M integral duplaS z f , dS
Substituindo f = MS e z = rho^2:
zc = 1M cdot MS integral duplaS rho^2 raiz1 + 4rho^2 , rho , drho , dtheta = 1S cdot 2pi integral0^r rho^3 raiz1 + 4rho^2 , drho
Usando a mesma integração feita para Iz, temos:
zc = 2piS cdot 132 [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]

Resposta

O momento de inércia em relação ao eixo z é dado por
Iz = pi M16 S [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]
e o centro de massa da superfície está localizado em (0, 0, zc), onde
zc = 2piS cdot 132 [ 25 (1 + 4r^2)^5/2 - 23 (1 + 4r^2)^3/2 + 415 ]

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