Se a densidade superficial de massa no ponto de uma superfície , então o momento de inércia de em relação ao eixo é definida por
onde o momento de massa e é a distância do ponto ao eixo. Além disso o centro de massa é definido por
com a massa total de . Com estas informações, determine:
O momento de inércia e o centro de massa da superfície homogênea, de massa , de equação , em torno do eixo .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos pede para encontrar o momento de inércia e o centro de massa de uma superfície homogênea com massa total . A superfície dada é , limitada por , e queremos calcular o momento de inércia em relação ao eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral aplicados à física, como momento de inércia e centro de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o momento de inércia. Ele mede a distribuição de massa em relação a um eixo de rotação. A fórmula dada é:
onde é a distância de um ponto na superfície ao eixo . Como estamos calculando em relação ao eixo , é a distância no plano , ou seja, e .
Passo 3
A densidade superficial de massa é homogênea, então é constante. A massa total da superfície é:
Como é constante, podemos escrever , onde é a área da superfície.
Passo 4
Vamos parametrizar a superfície . Usando coordenadas polares no plano , onde , , e . O limite é . O elemento de área em coordenadas polares para a superfície paraboloide é dado por:
Calculando as derivadas:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento de inércia :
Substituindo e usando coordenadas polares:
Passo 6
Calculando a integral em :
Então:
Passo 7
Vamos resolver a integral . Fazendo a substituição , então , ou . Mas precisamos ajustar a integral: