Seja
Com os valores de
e
encontrados no item anterior determine uma função potencial para
.
Com os valores de
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo: temos o campo vetorial
com
e
. Logo
. O objetivo é encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 2
Partindo de
, integramos em
:
[\phi(x,y,z)=\int z^2,dx= xz^2 + g(y,z),]
onde depende de
e
.
[\phi(x,y,z)=\int z^2,dx= xz^2 + g(y,z),]
onde
Passo 3
Usamos
. Como
[\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}(xz^2+g(y,z))=\frac{\partial g}{\partial y},]
temos
[\frac{\partial g}{\partial y}=z\sin y]
Integrando em :
[,g(y,z)=-z\cos y + h(z),]
com função de
somente.
[\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}(xz^2+g(y,z))=\frac{\partial g}{\partial y},]
temos
[\frac{\partial g}{\partial y}=z\sin y]
Integrando em
[,g(y,z)=-z\cos y + h(z),]
com
Passo 4
Aplicamos
. Calculando
[\phi_z=\frac{\partial}{\partial z}(xz^2 - z\cos y + h(z))=2xz - \cos y + h’(z),]
igualamos a e obtemos
. Integrando:
[h(z)=z^2 + C.]
[\phi_z=\frac{\partial}{\partial z}(xz^2 - z\cos y + h(z))=2xz - \cos y + h’(z),]
igualamos a
[h(z)=z^2 + C.]