Seja F=(z^2, z sin y, 2 z+a x z+b cos y)
Com os valores de a e b encontrados no item anterior determine uma função potencial para F.

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo: temos o campo vetorial F=(z^2,,zsin y,,2z + a x z + bcos y) com a=2 e b=-1. Logo F=(z^2,,zsin y,,2z+2xz-cos y). O objetivo é encontrar uma função potencial phi(x,y,z) tal que nablaphi=F.

Passo 2

Partindo de phix=P=z^2, integramos em x:
[\phi(x,y,z)=\int z^2,dx= xz^2 + g(y,z),]
onde g depende de y e z.

Passo 3

Usamos phiy=Q=zsin y. Como
[\phi_y=\frac{\partial}{\partial y}(xz^2+g(y,z))=\frac{\partial g}{\partial y},]
temos
[\frac{\partial g}{\partial y}=z\sin y]
Integrando em y:
[,g(y,z)=-z\cos y + h(z),]
com h função de z somente.

Passo 4

Aplicamos phiz=R=2z+2xz-cos y. Calculando
[\phi_z=\frac{\partial}{\partial z}(xz^2 - z\cos y + h(z))=2xz - \cos y + h’(z),]
igualamos a R e obtemos h'(z)=2z. Integrando:
[h(z)=z^2 + C.]

Resposta

phi(x,y,z)=xz^2 - zcos y + z^2 + C

Exercícios relacionados