Calcule as integrais supondo que n seja um inteiro positivo e que b \neq 0.
\int \sqrt[n]{a+b x} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular
\int \sqrt[n]{a + b x}\,dx
com n inteiro positivo e b\neq0. O conteúdo principal aqui é a integração de uma potência de função afim, que resolveremos por substituição simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = a + b x,
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dt = b\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{dt}{b}.

Passo 3

Em função de t, a integral torna-se
\int \sqrt[n]{a + b x}\,dx = \int t^{\frac{1}{n}}\;\frac{dt}{b} = \frac{1}{b}\,\int t^{\frac{1}{n}}\,dt.

Passo 4

Usamos a fórmula de potência
\int t^{m}\,dt = \frac{t^{m+1}}{m+1} + C.
Aqui m = \tfrac{1}{n}, então
\frac{1}{b}\,\int t^{\frac{1}{n}}\,dt = \frac{1}{b}\;\frac{t^{\frac{1}{n}+1}}{\frac{1}{n}+1} + C = \frac{1}{b}\;\frac{t^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + C = \frac{n}{b\,(n+1)}\,t^{\frac{n+1}{n}} + C.

Passo 5

Voltando à variável x com t = a + b x, obtemos
\frac{n}{b\,(n+1)}\,\bigl(a + b x\bigr)^{\frac{n+1}{n}} + C.

Resposta

\boxed{\int \sqrt[n]{a + b x}\,dx = \frac{n}{b\,(n+1)}\,\bigl(a + b x\bigr)^{\frac{n+1}{n}} + C.}

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