Enunciado: Determine o ponto do plano \pi: 2 x-y+z-2=0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.
O método depende se P e Q estão do mesmo lado ou em lados opostos do plano. Verificamos isso substituindo as coordenadas na expressão do plano f(x, y, z)=2 x-y+z-2.
(a) P=(2,1,0), Q=(1,-1,-1)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
f(Q)=2(1)-(-1)+(-1)-2=2+1-1-2=0. O ponto Q pertence ao plano.
Como Q já está no plano, a menor soma de distâncias ocorre quando o ponto X é o próprio ponto Q . Solução (a): O ponto é \mathbf{Q}=(\mathbf{1},-\mathbf{1},-\mathbf{1}).
(b) P=(2,1,0), Q=(0,1,1)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
f(Q)=2(0)-1+1-2=-2<0.
Como os pontos estão em lados opostos do plano, o ponto X que minimiza a soma das distâncias é a interseção do segmento de reta PQ com o plano \pi.
Reta PQ: O vetor diretor é \vec{v}=Q-P=(-2,0,1). A reta é X=P+t \vec{v}=(2-2 t, 1, t).
Interseção com \pi : Substituímos as equações paramétricas na equação do plano.
Solução (b): O ponto é \mathbf{X}=(\mathbf{4} / \mathbf{3}, \mathbf{1}, \mathbf{1} / \mathbf{3}).
(c) P=(2,1,0), Q=(1,-1,2)
f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
f(Q)=2(1)-(-1)+2-2=3>0.
Como os pontos estão do mesmo lado, devemos refletir um deles ( P ) através do plano. Seja P’ a reflexão de P. O ponto procurado X é a interseção da reta P’Q com o plano.
Reflexão de P: A reta L que passa por P e é perpendicular a \pi tem vetor diretor \vec{n}=(2,-1,1) . L: X=(2,1,0)+t(2,-1,1). Interseção de L com \pi: 2(2+2 t)-(1-t)+(t)-2=0 \Longrightarrow 4+4 t-1+t+t-2=0 \Longrightarrow 6 t+1=0 \Longrightarrow t=-1 / 6. O ponto de interseção (ponto médio de PP’) é M=(2-2 / 6,1+1 / 6,-1 / 6)=(5 / 3,7 / 6,-1 / 6) . P^{\prime}=2 M-P=2(5 / 3,7 / 6,-1 / 6)-(2,1,0)=(10 / 3-2,7 / 3-1,-1 / 3-0)=(4 / 3,4 / 3,-1 / 3).
Solução (c): O ponto é \mathbf{X}=(\mathbf{5} / \mathbf{4}, \mathbf{3} / \mathbf{4}, \mathbf{1} / \mathbf{4}).
Passo 1
Temos a reta de busca dos pontos X sobre o plano
\pi:2x - y + z - 2 = 0
que minimizam a soma das distâncias
d(X,P) + d(X,Q).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço:
Se um dos pontos já está no plano, a melhor escolha é esse ponto.
Se estão em lados opostos, o mínimo ocorre no ponto em que o segmento PQ intersecta \pi.
Se estão no mesmo lado, reflete-se um dos pontos em relação a \pi e, então, encontra-se a interseção da reta entre o ponto refletido e o outro com \pi.
Passo 2
Caso (a): P=(2,1,0) e Q=(1,-1,-1).
Verificamos em que lado de \pi cada ponto está calculando
f(P)=2\cdot2 - 1 + 0 -2 = 1>0,
f(Q)=2\cdot1 -(-1) +(-1)-2 = 2+1-1-2 = 0.
Como f(Q)=0, o ponto Q já pertence a \pi. Logo, a soma d(X,P)+d(X,Q) é mínima quando X=Q.
Passo 3
Caso (b): P=(2,1,0) e Q=(0,1,1).
Calculamos
f(P)=1>0, \quad f(Q)=2\cdot0 -1 +1 -2 = -2<0,
ou seja, estão em lados opostos. O mínimo ocorre na interseção do segmento PQ com \pi.