Enunciado: Determine o ponto do plano \pi: 2 x-y+z-2=0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.
O método depende se P e Q estão do mesmo lado ou em lados opostos do plano. Verificamos isso substituindo as coordenadas na expressão do plano f(x, y, z)=2 x-y+z-2.
(a) P=(2,1,0), Q=(1,-1,-1)
  • f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
  • f(Q)=2(1)-(-1)+(-1)-2=2+1-1-2=0. O ponto Q pertence ao plano.
Como Q já está no plano, a menor soma de distâncias ocorre quando o ponto X é o próprio ponto Q . Solução (a): O ponto é \mathbf{Q}=(\mathbf{1},-\mathbf{1},-\mathbf{1}).
(b) P=(2,1,0), Q=(0,1,1)
  • f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
  • f(Q)=2(0)-1+1-2=-2<0.
Como os pontos estão em lados opostos do plano, o ponto X que minimiza a soma das distâncias é a interseção do segmento de reta PQ com o plano \pi.
  1. Reta PQ: O vetor diretor é \vec{v}=Q-P=(-2,0,1). A reta é X=P+t \vec{v}=(2-2 t, 1, t).
  2. Interseção com \pi : Substituímos as equações paramétricas na equação do plano.
\begin{gathered} 2(2-2 t)-(1)+(t)-2=0 \\\\ 4-4 t-1+t-2=0 \Longrightarrow-3 t+1=0 \Longrightarrow t=1 / 3 \end{gathered}
  1. Ponto X: Substituindo t=1 / 3 na equação da reta:
X=(2-2(1 / 3), 1,1 / 3)=(4 / 3,1,1 / 3)
Solução (b): O ponto é \mathbf{X}=(\mathbf{4} / \mathbf{3}, \mathbf{1}, \mathbf{1} / \mathbf{3}).
(c) P=(2,1,0), Q=(1,-1,2)
  • f(P)=2(2)-1+0-2=1>0.
  • f(Q)=2(1)-(-1)+2-2=3>0.
Como os pontos estão do mesmo lado, devemos refletir um deles ( P ) através do plano. Seja P’ a reflexão de P. O ponto procurado X é a interseção da reta P’Q com o plano.
  1. Reflexão de P: A reta L que passa por P e é perpendicular a \pi tem vetor diretor \vec{n}=(2,-1,1) . L: X=(2,1,0)+t(2,-1,1). Interseção de L com \pi: 2(2+2 t)-(1-t)+(t)-2=0 \Longrightarrow 4+4 t-1+t+t-2=0 \Longrightarrow 6 t+1=0 \Longrightarrow t=-1 / 6. O ponto de interseção (ponto médio de PP’) é M=(2-2 / 6,1+1 / 6,-1 / 6)=(5 / 3,7 / 6,-1 / 6) . P^{\prime}=2 M-P=2(5 / 3,7 / 6,-1 / 6)-(2,1,0)=(10 / 3-2,7 / 3-1,-1 / 3-0)=(4 / 3,4 / 3,-1 / 3).
  2. Reta P’Q: Vetor diretor \overrightarrow{v^{\prime}}=Q-P^{\prime}=(1-4 / 3,-1-4 / 3,2-(-1 / 3))=(-1 / 3,-7 / 3,7 / 3). Podemos usar \overrightarrow{v^{\prime \prime}}=(-1,-7,7). A reta é X=Q+s \overrightarrow{v^{\prime \prime}}=(1-s,-1-7 s, 2+7 s).
  3. Interseção de P’Q com \pi: 2(1-s)-(-1-7 s)+(2+7 s)-2=0 \quad \Longrightarrow 2-2 s+1+7 s+2+7 s-2=0 \Longrightarrow 12 s+3=0 \Longrightarrow s=-1 / 4.
  4. Ponto X: X=(1-(-1 / 4),-1-7(-1 / 4), 2+7(-1 / 4))=(5 / 4,-1+7 / 4,2-7 / 4)=(5 / 4,3 / 4,1 / 4).
Solução (c): O ponto é \mathbf{X}=(\mathbf{5} / \mathbf{4}, \mathbf{3} / \mathbf{4}, \mathbf{1} / \mathbf{4}).

Passo 1

Temos a reta de busca dos pontos X sobre o plano
\pi:2x - y + z - 2 = 0
que minimizam a soma das distâncias
d(X,P) + d(X,Q).
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço:
  • Se um dos pontos já está no plano, a melhor escolha é esse ponto.
  • Se estão em lados opostos, o mínimo ocorre no ponto em que o segmento PQ intersecta \pi.
  • Se estão no mesmo lado, reflete-se um dos pontos em relação a \pi e, então, encontra-se a interseção da reta entre o ponto refletido e o outro com \pi.

Passo 2

Caso (a): P=(2,1,0) e Q=(1,-1,-1).
Verificamos em que lado de \pi cada ponto está calculando
f(P)=2\cdot2 - 1 + 0 -2 = 1>0,
f(Q)=2\cdot1 -(-1) +(-1)-2 = 2+1-1-2 = 0.
Como f(Q)=0, o ponto Q já pertence a \pi. Logo, a soma d(X,P)+d(X,Q) é mínima quando X=Q.

Passo 3

Caso (b): P=(2,1,0) e Q=(0,1,1).
Calculamos
f(P)=1>0, \quad f(Q)=2\cdot0 -1 +1 -2 = -2<0,
ou seja, estão em lados opostos. O mínimo ocorre na interseção do segmento PQ com \pi.
A reta PQ em forma paramétrica é
X(t)=P + t(Q-P) = (2,1,0) + t(-2,0,1) = (2-2t,\,1,\,t).
Substituindo em \pi:
2(2-2t) - 1 + t - 2 = 0.
Logo,
4 - 4t - 1 + t - 2 = 0 \implies -3t + 1 = 0 \implies t = \tfrac{1}{3}.
Assim,
X = \bigl(2-2\cdot\tfrac{1}{3},\,1,\,\tfrac{1}{3}\bigr) = \bigl(\tfrac{4}{3},\,1,\,\tfrac{1}{3}\bigr).

Passo 4

Caso (c): P=(2,1,0) e Q=(1,-1,2).
Verificamos
f(P)=1>0, \quad f(Q)=2\cdot1 -(-1) +2 -2 = 3>0,
ambos do mesmo lado. Então refletimos P em \pi.
  1. A normal de \pi é \vec n=(2,-1,1). A reta perpendicular a \pi passando por P é
L: X(t)= (2,1,0) + t(2,-1,1).
Substituindo em \pi:
2(2+2t) - (1-t) + (t) - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; 4 + 4t -1 + t + t -2 = 0 \;\Longrightarrow\; 6t + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -\tfrac{1}{6}.
O ponto médio M de P e sua reflexão P' é então
M=\bigl(2+2t,\,1 - t,\,0+t\bigr) =\bigl(2 - \tfrac{1}{3},\,1 + \tfrac{1}{6},\,-\tfrac{1}{6}\bigr) =\bigl(\tfrac{5}{3},\,\tfrac{7}{6},\,-\tfrac{1}{6}\bigr).
Como M é o ponto médio de PP', segue
P' = 2M - P = \bigl(\tfrac{10}{3},\,\tfrac{7}{3},\,-\tfrac{1}{3}\bigr) - (2,1,0) = \bigl(\tfrac{4}{3},\,\tfrac{4}{3},\,-\tfrac{1}{3}\bigr).
  1. Agora fazemos a reta P'Q:
P'Q = Q + s\bigl(P' - Q\bigr) = (1,-1,2) + s\bigl(\tfrac{4}{3}-1,\;\tfrac{4}{3}+1,\;-\tfrac{1}{3}-2\bigr) = (1,-1,2) + s\bigl(\!-\tfrac{ -?}{?}\bigr).
Para simplificar, use o vetor diretor (-1,-7,7). Assim
X(s)=(1-s,\,-1 -7s,\,2+7s).
Substituindo em \pi:
2(1-s) -(-1 -7s) + (2+7s) -2 =0 \;\Longrightarrow\; 2-2s +1+7s +2+7s -2 =0 \;\Longrightarrow\; 12s +3 = 0 \;\Longrightarrow\; s = -\tfrac{1}{4}.
Logo,
X = \bigl(1 -(-\tfrac{1}{4}),\,-1 -7(-\tfrac{1}{4}),\,2+7(-\tfrac{1}{4})\bigr) = \bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{4}\bigr).

Resposta

(a) \;X = (1,-1,-1).
(b) \;X = \bigl(\tfrac{4}{3},\,1,\,\tfrac{1}{3}\bigr).
(c) \;X = \bigl(\tfrac{5}{4},\,\tfrac{3}{4},\,\tfrac{1}{4}\bigr).

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